Lý thuyết Hai tam giác bằng nhau (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Hai tam giác bằng nhau

A. Lý thuyết

– Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Ví dụ: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ như hình vẽ dưới đây:

Hai tam giác này có bằng nhau không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

+) AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C';

+) $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}.$ 

Do đó hai tam giác ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau.

– Khi tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau thì ta kí hiệu là: DABC = DA'B'C'.

– Quy ước: Khi viết hai tam giác bằng nhau, tên đỉnh của hai tam giác đó phải viết theo đúng thứ tự tương ứng với sự bằng nhau.

- Chú ý:

+ Nếu AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}$thì DABC = DA'B'C'.

+ Nếu DABC = DA'B'C' thì AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}},$$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}},$ $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}.$

Ở đây:

• Hai góc A và A' (B và B', C và C') là hai góc tương ứng;

• Hai cạnh AB và A'B' (BC và B'C', AC và A'C') là hai cạnh tương ứng.

Ví dụ: Cho hai tam giác ABC và DEF như hình vẽ dưới đây:

Hai tam giác ABC và DEF có bằng nhau không? Nếu bằng nhau hãy viết kí hiệu bằng nhau của hai tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác FDE có $\widehat{\mathrm{F}}+\widehat{\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{E}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{F}}=180°-\widehat{\mathrm{E}}-\widehat{\mathrm{D}}$

Hay $\widehat{\mathrm{F}}=180°-85°-20°=75°$ 

Xét tam giác BCA ta cũng có: $\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{A}}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=180°-\widehat{\mathrm{B}}-\widehat{\mathrm{A}}$

Hay $\widehat{\mathrm{C}}=180°-85°-30°=75°$

Xét tam giác FDE và tam giác BCA có:

+) AB = DE, AC = DF, BC = EF

+) $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}}\left(=20°\right),\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}}\left(=85°\right),\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{F}}\left(=75°\right)$ 

Do đó DABC = DDEF.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong hình vẽ sau:

Biết DABC = DDEF, BC = 4 cm, $\widehat{\mathrm{F}}=30°$. Độ dài cạnh FE và số đo góc B là:

A. FE = 4 cm và $\widehat{\mathrm{B}}=30°;$

B. FE = 4 cm và $\widehat{\mathrm{B}}=60°;$

C. FE = 5 cm và $\widehat{\mathrm{B}}=60°;$

D. FE = 5 cm và $\widehat{\mathrm{B}}=30°;$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

- Vì DABC = DDEF nên ta có:

+) BC = FE (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = 4 cm nên FE = 4cm;

+) $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{F}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{F}}=30°$ nên $\widehat{\mathrm{C}}=30°$ 

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=90°-\widehat{\mathrm{C}}$

Hay $\widehat{\mathrm{B}}=90°-30°=60°$ 

Vậy FE = 4 cm và $\widehat{\mathrm{B}}=60°.$

Câu 2. Cho biết DABC = DXYZ, AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 6 cm. Độ dài cạnh XY là:

A. 3 cm;

B. 4 cm;

C. 5 cm;

D. 6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì DABC = DXYZ nên ta có:

AB = XY (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 4 cm nên XY = 4cm

Vậy độ dài cạnh XY là 4 cm.

Câu 3. Cho DABC = DDEG biết $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{E}}=100°.$ Số đo góc G là:

A. 50°;

B. 60°;

C. 70°;

D. 80°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì DABC = DDEG nên ta có:

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}},\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (các cặp góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{E}}=100°$ nên $\widehat{\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{E}}=100°$ 

Xét tam giác DEG ta có: $\widehat{\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{E}}+\widehat{\mathrm{G}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{G}}=180°-(\widehat{\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{E}})$ 

Hay $\widehat{\mathrm{G}}=180°-100°=80°$

Vậy số đo góc G bằng 80°.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình vẽ:

Biết DABH = DBAK, tính số đo góc ABK.

Hướng dẫn giải

Vì DABH = DBAK nên $\widehat{\mathrm{HAB}}=\widehat{\mathrm{KBA}}\widehat{,\mathrm{HBA}}=\widehat{\mathrm{K}\text{A}\mathrm{B}}$ (các cặp góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{HBA}}=35°$

Suy ra $\widehat{\mathrm{K}\text{A}\mathrm{B}}=35°.$

Xét tam giác ABK có $\widehat{\mathrm{K}}+\widehat{\mathrm{K}\text{A}\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{KBA}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABK}}=180°-\widehat{\mathrm{K}\text{A}\mathrm{B}}-\widehat{\mathrm{K}}$

Hay $\widehat{\mathrm{ABK}}=180°-35°-70°=75°$

Vậy số đo góc ABK là 75°.

Bài 2. Cho DABC = DA’B’C’. Biết $\widehat{\mathrm{A}}:\widehat{\mathrm{B}}:\widehat{\mathrm{C}}=3:4:5.$ Tính các góc của tam giác A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Theo bài $\widehat{\mathrm{A}}:\widehat{\mathrm{B}}:\widehat{\mathrm{C}}=3:4:5$

Suy ra $\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{3}=\frac{\widehat{\mathrm{B}}}{4}=\frac{\widehat{\mathrm{C}}}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{3}=\frac{\widehat{\mathrm{B}}}{4}=\frac{\widehat{\mathrm{C}}}{5}=\frac{\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}}{3+4+5}=\frac{180°}{12}=15°$

Khi đó:

• $\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{3}=15°$ suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=15°.3=45°;$

• $\frac{\widehat{\mathrm{B}}}{4}=15°$ suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=15°.4=60°;$

• $\frac{\widehat{\mathrm{C}}}{5}=15°$ suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=15°.5=75°.$

Vì DABC = DA’B’C’ nên ta có:

 $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=45°;\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}=60°$ và $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}=75°$ (các cặp góc tương ứng)

Vậy  $\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=45°,\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}=60°$ và $\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}=75°.$