Lý thuyết Biểu thức đại số và đa thức một biến (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 7

Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7

1. Biểu thức đại số

• Biểu thức không chứa chữ gọi là biểu thức số.

• Biểu thức chỉ chứa số hoặc chỉ chứa chữ hoặc chứa cả số và chữ gọi chung là biểu thức đại số.

• Trong một biểu thức đại số, các chữ (nếu có) dùng để thay thế hay đại diện cho những số nào đó được gọi là các biến số (gọi tắt là các biến).

• Một biểu thức đại số có thể chứa nhiều biến khác nhau.

Chú ý:

• Để cho gọn khi viết các biểu thức đại số, ta không viết dấu nhân giữa các biến, cũng như giữa biến và số.

Chẳng hạn, x.y viết là xy; 7.a viết là 7a.

• Thông thường ta không viết thừa số 1 trong các tích.

Chẳng hạn, 1x2 viết là x2; (– 1)xy viết là – xy.

• Với các biến, ta cũng có thể áp dụng các quy tắc và tính chất của các phép tính như đối với các số.

2. Giá trị của biểu thức đại số

• Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

3. Đơn thức một biến

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Chú ý:

• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.

Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x0.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

4. Khái niệm đa thức một biến

• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Một đơn thức cũng là một đa thức.

• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Chú ý:

• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn: M = M(x) = x3 – 2x2 + 7x+ 1.

5. Đa thức một biến thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.

• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

6. Sắp xếp đa thức một biến

Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Chú ý: Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

7. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.

• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

8. Nghiệm của đa thức một biến

• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

9. Cộng hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “+”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Chú ý: Phép cộng đa thức cũng có tính chất như phép cộng số thực. Cụ thể là:

+ Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C);

+ Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.

10. Trừ hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “–”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính trừ sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Chú ý: Tương tự như các số, với các đa thức P, Q và R, ta cũng có:

- Nếu Q + R = P thì R = P – Q.

- Nếu R = P – Q thì Q + R = P.

11. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức vời từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

12. Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Chú ý:

• Ta có thể trình bày phép nhân một đa thức với một đa thức bằng cách đặt tính.

Khi trình bày theo cách này ta cần:

+ Nhân lần lượt mỗi hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên và viết kết quả trong một dòng riêng.

+ Viết các dòng sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau (để thực hiện phép cộng theo cột).

+ Khi nhân các hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên, ta nên nhân các hạng tử theo thứ tự từ bậc thấp đến bậc cao.

Chẳng hạn: Đặt tính nhân (x + 3).(2x2 – 3x – 5), ta làm như sau:

• Phép nhân đa thức cũng có các tính chất:

+ Giao hoán: A.B = B.A.

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C).

+ Phân phối đối với phép cộng: A.(B + C) = A.B + A.C.

13. Làm quen phép chia đa thức

• Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0). Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q (hay $\frac{A}{B}=Q$), trong đó

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia (kí hiệu B ≠ 0 có nghĩa B không phải là đa thức không).

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Cho hai đơn thức axm và bxn (m; n ∈ ℕ, a; b ∈ ℝ, b ≠ 0).

Khi đó nếu m ≥ n thì ta có phép chia axm cho bxn là phép chia hết và ta có:

axm : bxn = $\frac{a}{b}$xm – n (quy ước: x0 = 1).

Chú ý:

• axm : bxn được hiểu là axm : (bxn)

Chẳng hạn: 4x5 : 2x2 được hiểu là 4x5 : (2x2).

14. Chia đa thức cho đa thức

• Muốn chia một đa thức cho một đa thức, ta đặt tính và chia (tương tự phép chia hai số tự nhiên) cho đến khi được đa thức dư là đa thức không, hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

• Khi đặt tính chia, nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

• Nếu chia đa thức A cho đa thức B, ta được đa thức thương là Q, đa thức dư là R thì:

+ Đa thức dư R = 0 (khi chia hết) hoặc R là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức B (nếu không chia hết).

+ Ta có đẳng thức: A = B.Q + R.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức có thể không cần đặt tính chia.

Bài tập Tổng hợp Toán 7 Chương 7

Bài 1. Cho đa thức A(x) = x2 – 4x – 5.

Trong các số – 1; 0 và 1, số nào là nghiệm của đa thức A(x).

Hướng dẫn giải

Ta có:

A(– 1) = (– 1)2 – 4.(–1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0nên – 1 là một nghiệm của A(x)

A(0) = 02 – 4.0 – 5 = 0 – 0 – 5 = – 5 ≠ 0 nên 0 không là nghiệm của A(x)

A(1) = 12 – 4.1 – 5 = 1 – 4 – 5 = – 8 ≠ 0 nên 1 không là nghiệm của A(x)

Vậy trong các số – 1; 0 và 1 thì – 1 là nghiệm của A(x).

Bài 2. Cho P(x) = 2x4 – x2 + x – 2; Q(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1.

a) Tìm đa thức H(x), biết H(x) + P(x) = Q(x);

b) Tìm đa thức M(x), biết M(x) – Q(x) = P(x).

Hướng dẫn giải

a) H(x) + P(x) = Q(x)

nên H(x) = Q(x) – P(x)

= (3x4 + x3 + 2x2 + x + 1) – (2x4 – x2 + x – 2)

= 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1 – 2x4 + x2 – x + 2

= (3x4 – 2x4) + x3 + (2x2 + x2) + (x – x) + (1 + 2)

= x4 + x3 + 3x2 + 3

Vậy H(x) = x4 + x3 + 3x2 + 3.

b) M(x) – Q(x) = P(x)

nên M(x) = Q(x) + P(x)

= (3x4 + x3 + 2x2 + x + 1) + (2x4 – x2 + x – 2)

= 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1 + 2x4 – x2 + x – 2

= (3x4 + 2x4) + x3 + (2x2 – x2) + (x + x) + (1 – 2)

= 5x4 + x3 + x2 + 2x – 1

Vậy M(x) = 5x4 + x3 + x2 + 2x – 1.

Bài 3. Một xe khách đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 60 km/h. Sau đó 30 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 80km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi A(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và B(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm A(x) và B(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức G(x) = A(x) – B(x) có nghiệm là x = $\frac{3}{2}$. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm $\frac{3}{2}$ của đa thức G(x).

Hướng dẫn giải

a) Quãng đường xe du lịch đi được sau x giờ là: 80x (km)

Khi xe du lịch đi được x giờ thì xe khách đi được khoảng thời gian là:

x giờ + 30 phút = x + 0,5 (giờ)

Quãng đường xe khách đi được sau khi xe du lịch đi được x giờ là:

60 . (x + 0,5) = 60x + 30 (km)

Vậy A(x) = 80x; B(x) = 60x + 30.

b) G(x) = A(x) – B(x)

= 80x – (60x + 30)

= 80x – 60x – 30

= 20x – 30

Vậy G(x) = 20x – 30.

Ta có: $G\left(\frac{3}{2}\right)=20\cdot \frac{3}{2}-30=0$

Vậy x = $\frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức G(x).

Nghiệm x = $\frac{3}{2}$ cho thấy sau $\frac{3}{2}$ giờ thì quãng đường đi được của xe khách bằng xe du lịch hay sau 1,5 giờ thì hai xe gặp nhau.

Bài 4. Thực hiện các phép nhân sau:

a) 5x2.(2x3 – 4x2 + 3x – 1);

b) (– 1,2x2).(5x4 – 2x3 + 3x2 – 2,5).

Hướng dẫn giải

a) 5x2.(2x3 – 4x2 + 3x – 1)

= 5x2.2x3 + 5x2.( – 4x2) + 5x2.3x + 5x2.( – 1)

= 10x5 – 20x4 + 15x3 – 5x2

b) (– 1,2x2).(5x4 – 2x3 + 3x2 – 2,5)

= (– 1,2x2).5x4 + (– 1,2x2).( – 2x3) + (– 1,2x2).( 3x2) + (– 1,2x2).( – 2,5)

= – 6x6 + 2,4x5 – 3,6x4 + 3x2

Bài 5. Thực hiện các phép nhân sau:

a) (x2 – 3x).(x2 – 2x – 8);

b) (0,2x2 + x).(x2 – 3x + 7).

Hướng dẫn giải

a) (x2 – 3x).(x2 – 2x – 8)

= x2. (x2 – 2x – 8) – 3x. (x2 – 2x – 8)

= x2.x2 + x2.(– 2x) + x2.(– 8) – 3x.x2 – 3x.(– 2x) – 3x.( – 8)

= x4 – 2x3 – 8x2 – 3x3 + 6x2 + 24x

= x4 – (2x3 + 3x3) + (– 8x2 + 6x2) + 24x

= x4 – 5x3 – 2x2 + 24x.

b) (0,2x2 + x).(x2 – 3x + 7)

= 0,2x2. (x2 – 3x + 7) + x. (x2 – 3x + 7)

= 0,2x2.x2 + 0,2x2.( – 3x) + 0,2x2.7 + x.x2 + x.( – 3x) + x.7

= 0,2x4 – 0,6x3 + 1,4x2 + x3 – 3x2 + 7x

= 0,2x4 + (– 0,6x3 + x3) + (1,4x2 – 3x2) + 7x

= 0,2x4 + 0,4x3 – 1,6x2 + 7x.

Bài 6. Tìm x, biết rằng:

a) (x – 7)(2x3 – x2 + 1) + (x – 7)x2(1 – 2x) = 2;

b) (2x + 1)(2x – 3) – (4x + 1)(x + 2) = 8.

Hướng dẫn giải

a) (x – 7)(2x3 – x2 + 1) + (x – 7)x2(1 – 2x) = 2

(x – 7)[(2x3 – x2 + 1) + x2(1 – 2x)] = 2

(x – 7)[2x3 – x2 + 1 + x2 – 2x3] = 2

(x – 7)[(2x3 – 2x3) + (– x2 + x2) + 1] = 2

(x – 7).1 = 2

x – 7 = 2

x = 2 + 7

x = 9

Vậy x = 9.

b) (2x + 1)(2x – 3) – (4x + 1)(x + 2) = 8

2x(2x – 3) + 1.(2x – 3) – [4x(x + 2) + 1.(x + 2)] = 8

4x2 – 6x + 2x – 3 – [4x2 + 8x + x + 2] = 8

4x2 – 6x + 2x – 3 – 4x2 – 8x – x – 2 = 8

(4x2 – 4x2) + (– 6x + 2x – 8x – x) – (3 + 2) = 8

– 13x – 5 = 8

– 13x = 8 + 5

– 13x = 13

x = 13 : (– 13)

x = – 1

Vậy x = – 1.

Bài 7. Tính

a) 9x6 : 3x3;

b) 225x7 : (– 25x2);

c) $\frac{2}{5}$(– x)3 : $\frac{1}{10}$x;

d) (– 4,62x5) : (–3x4).

Hướng dẫn giải

a) 9x6 : 3x3 = (9 : 3)(x6 : x3) = 3x6 – 3 = 3x3.

b) 225x7 : (– 25x2) = [225 : (– 25)](x7 : x2) = – 9x7 – 2 = – 9x5.

c) $\frac{2}{5}$(– x)3 : $\frac{1}{10}$x = (– $\frac{2}{5}$x3) : $\frac{1}{10}$x = $\left(-\frac{2}{5}:\frac{1}{10}\right)$(x3 : x) = – 4x3 – 1 = – 4x2.

d) (– 4,62x5) : (–3x4) = [(– 4,62) : (–3)](x5 : x4) = 1,54x5 – 4 = 1,54x.

Bài 8. Thực hiện các phép chia sau:

a) (– 10x3 + 25x2 – 8x) : (– 5x);

b) (2x5 + 6x3 – 3x2) : 2x2.

Hướng dẫn giải

a) (– 10x3 + 25x2 – 8x) : (– 5x)

= (– 10x3) : (– 5x) + (25x2) : (– 5x) – (8x) : (– 5x)

= 2x2 – 5x + $\frac{8}{5}$.

b) (2x5 + 6x3 – 3x2) : 2x2

= 2x5 : 2x2 + 6x3 : 2x2 – 3x2 : 2x2

= x3 + 3x – $\frac{3}{2}$.

Bài 9. Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:

a) (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1);

b) (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5);

c) (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3);

d) (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1).

Hướng dẫn giải

a) (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1)

Vậy (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1) = 2x3 – 3.

b) (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5)

Vậy (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5) = x2 + 3.

c) (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3)

Vậy (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3) = x2 – 2x – 6 dư 2x + 13.

d) (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1)

Vậy (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1) = x3 – 3x2 + 3x + 5 dư 5.

Bài 10. Tính giá trị của biểu thức:

a) x2 – 2x + 3 tại x = – 1.

b) 2x – 3y tại x = $\frac{1}{2}$ và y = – 2.

c) xy(x – y) + (x + y)2 tại x = – 4 và y = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = – 1 vào biểu thức x2 – 2x + 3, ta được:

(– 1)2 – 2.(– 1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6

Vậy khi x = – 1, giá trị của biểu thức trên là 6.

b) Thay x = $\frac{1}{2}$ và y = – 2 vào biểu thức 2x – 3y, ta được:

$2.\frac{1}{2}$ – 3.(– 2) = 1 + 6 = 7

Vậy khi x = $\frac{1}{2}$ và y = – 2, giá trị của biểu thức trên là 7.

c) Thay x = – 4 và y = 2 vào biểu thức xy(x – y) + (x + y)2, ta được:

(– 4).2.(– 4 – 2) + (– 4 + 2)2 = – 8.( – 6) + (– 2)2 = 48 + 4 = 52

Vậy khi x = – 4 và y = 2, giá trị của biểu thức trên là 52.

Bài 11. Một xe máy xuất phát từ A để đi đến B với vận tốc x km/giờ. Cùng thời gian đó, một ô tô khởi hành từ B về A với vận tốc y km/giờ. Biết quãng đường AB dài 120 km.

a) Viết biểu thức đại số biểu thị khoảng thời gian để 2 xe gặp nhau.

b) Sử dụng kết quả của câu a, tính khoảng thời gian để 2 xe gặp nhau khi x = 36 (km/giờ) và y = 44 (km/giờ).

Hướng dẫn giải

a) Do cả hai xe xuất phát cùng lúc nên khi gặp nhau chúng đi hết cùng 1 khoảng thời gian và tổng quãng đường mà hai xe đi là quãng đường AB dài 120 km.

Tổng vận tốc của hai xe là: x + y (km/giờ)

Vậy biểu thức đại số biểu thị khoảng thời gian để 2 xe gặp nhau là: 120 : (x + y) (giờ)

b) Thay x = 36 và y = 44 vào biểu thức 120 : (x + y), ta được:

120 : (36 + 44) = 1,5 (giờ)

Vậy 2 xe gặp nhau sau 1,5 giờ.

Bài 12. Tính rồi tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

a) $\left(-\frac{1}{2}x\right)\cdot 8x^3$;

b) $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2$;

c) $\frac{1}{8}{x}^5\cdot {\left(2x\right)}^3$

d) – 9x4 + (2x2)2

Hướng dẫn giải

a) $\left(-\frac{1}{2}x\right)\cdot 8x^3$ = $\left(-\frac{1}{2}\cdot 8\right)\left(x\cdot x^3\right)$ = – 4x4

Đơn thức – 4x4 có hệ số là – 4, bậc 4.

b) $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2$ = $\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)x^2$ = – x2

Đơn thức – x2 có hệ số là – 1, bậc 2.

c) $\frac{1}{8}{x}^5\cdot {\left(2x\right)}^3$ = $\frac{1}{8}{x}^5\cdot 8x^3$ = $\left(\frac{1}{8}\cdot 8\right)\left(x^5\cdot x^3\right)$ = x8

Đơn thức x8 có hệ số là 1, bậc 8.

d) – 9x4 + (2x2)2 = – 9x4 + 4x4 = (– 9 + 4)x4 = – 5x4

Đơn thức – 5x4 có hệ số là – 5, bậc 4.

Bài 13. Cho hai đa thức:

P(x) = – 2x4 – 7x + $\frac{1}{2}$– 6x4 + 2x2 – x;

Q(x) = 3x3 – x4 – 5x2 + x3 – 6x + 9 + x4.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta tiến hành đồng thời vừa thu gọn, vừa sắp xếp các hạng tử của đa thức bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc (nếu có) từ bậc cao đến bậc thấp.

P(x) = – 2x4 – 7x + $\frac{1}{2}$– 6x4 + 2x2 – x

= (– 2x4 – 6x4) + 2x2 – (7x + x) + $\frac{1}{2}$

= (– 2 – 6) x4 + 2x2 – (7 + 1)x + $\frac{1}{2}$

= – 8x4 + 2x2 – 8x + $\frac{1}{2}$

Q(x) = 3x3 – x4 – 5x2 + x3 – 6x + 9 + x4

= (– x4 + x4) + (3x3 + x3) – 5x2 – 6x + 9

=(– 1 + 1)x4 + (3 + 1)x3 – 5x2 – 6x + 9

= 0x4 + 4x3 – 5x2 – 6x + 9

= 4x3 – 5x2 – 6x + 9

b)

Trong dạng thu gọn của P(x), hạng tử có bậc cao nhất là – 8x4 nên bậc của đa thức P(x) là 4, hệ số cao nhất là – 8. Hạng tử bậc 0 là $\frac{1}{2}$(vì $\frac{1}{2}$= $\frac{1}{2}$x0) nên hệ số tự do là $\frac{1}{2}$.

Trong dạng thu gọn của Q(x), hạng tử có bậc cao nhất là 4x3 nên bậc của đa thức Q(x) là 3, hệ số cao nhất là 4. Hạng tử bậc 0 là 9 (vì 9 = 9x0) nên hệ số tự do là 9.