Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác

Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

a) Đường trung tuyến của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

Ta có: $\frac{GA}{MA}=\frac{GB}{NB}=\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}.$

Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

Khi đó, G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

a) Đường phân giác của tam giác

Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường phân giác

Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.

Ta có: OI = OJ = OK.

Bài tập Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ANP có đường trung tuyến NM và NC = BC = 2CM nên C là trọng tâm của tam giác ANP.

Vậy AC, PC là hai đường tung tuyến của tam giác ANP

Vì thế suy ra AC đi qua trung điểm của PN và PC đi qua trung điểm của AN.

Bài 2: Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

Hướng dẫn giải

+) Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)

+) Xét tam giác ABD có U là giao của 2 đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm tam giác ABD.

Áp dụng định lí 1 ta có: $\frac{BU}{MB}=\frac{2}{3}\Rightarrow BU=\frac{2}{3}MB$ (2)

Từ đó ta có: $UM=BM-BU=MB-\frac{2}{3}MB=\frac{1}{3}MB$ (3)

+) Xét tam giác ACD có V là giao của 2 đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm tam giác AVD

Áp dụng định lí 1 ta có: $\frac{VC}{MC}=\frac{2}{3}\Rightarrow VC=\frac{2}{3}MC$ (4)

Từ đó ta có: $MV=CM-VC=MC-\frac{2}{3}MC=\frac{1}{3}MC$ (5)

Từ (1), (3), (5) ta có:

$UV=UM+MV=\frac{1}{3}MB+\frac{1}{3}MC=\frac{2}{3}MB$ (6)

Từ (1), (2), (4), (6) ta có: $BU=UV=VC=\frac{2}{3}MB$ .

Vậy BU = UV = VC (đpcm).

Bài 3: Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và $\widehat{BAC}=120°$ . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.

Hướng dẫn giải

Gọi Ax là tia đối của tia AB thì ba góc BAD, DAC, CAx có cùng số đo 60º.

Hạ EH ⏊ Bx, EI ⏊ AD, EK ⏊ BC

Ta có: Vì BE là phân giác góc ABC nên suy ra EH = EK (Áp dụng định lí 2)

Vì AE là phân giác góc DAx nên suy ra EH = EI (Áp dụng định lí 2)

Suy ra EK = EI hay E nằm trên tia phân giác của ADC

Vậy suy ra DE là đường phân giác của góc ADC (đpcm).