Lý thuyết Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Lý thuyết Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

1. Bất đẳng thức tam giác

Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:

Ta suy ra được các hệ thức sau:

AB < AC + BC

AC < AB + BC

BC < AC + AB

Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.

2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:

Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:

Ta suy ra được các hệ thức sau:

AB > AC − BC

AC > AB − BC

BC > AC – AB

Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:

b – c < a < b + c

Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.

Ví dụ: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C với độ dài các đoạn thẳng như sau: AB = 3, AC = 5, BC = 7. Hỏi AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không?

Để kiểm tra xem AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không ta có thể chứng minh theo hai cách:

+ Cách 1: Ta so sánh cạnh lớn nhất là BC = 7 với tổng hai cạnh còn lại.

Vì: BC < AB + AC (7 < 3 + 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.

+ Cách 2: Ta so sánh cạnh nhỏ nhất AB = 3 với hiệu hai cạnh còn lại.

Vì AB > BC – AC (3 > 7 – 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.

Bài tập Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 1 và BC = 7. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC:

+) Theo định lí ta có: AC < AB + BC = 1 + 7 = 8 (1)

+) Theo tinh chất ta có: AC > BC – AB = 7 – 1 = 6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 6 < AC < 8.

Mà độ dài cạnh AC là một số nguyên nên suy ra AC = 7.

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABD, áp dụng định lí ta có:

AD < AB + BD (1)

+) Xét tam giác ADC , áp dụng định lí ta có:

AD < AC + DC (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

2AD < (AB + BD) + (AC + CD)

Hay 2AF < AB + (BD + CD) + AC

Suy ra 2AF < AB + BC + AC

Tương đương với $AF<\frac{AB+BC+AC}{2}$

Mà $\frac{AB+BC+AC}{2}$ là nửa chu vi tam giác ABC.

Vậy suy ra AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC (đpcm).

Bài 3: Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC. So sánh MB với MN + NB, từ đó suy ra MA + MB < NA + NB.

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác BMN, áp dụng định lí ta có:

MB < MN + NB

Từ đó suy ra MA + MB < MA + MN + NB.

Do đó MA + MB < (MA + MN) + NB = NA + NB.

Vậy MA + MB < NA + NB (đpcm).