Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

1. Cộng hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “+”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Ví dụ:

+ Cho hai đa thức A(x) = x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3; B(x) = – x4 + 5x2 – 3x + 1

Muốn tính tổng hai đa thức A(x) và B(x) ta làm như sau:

Cách 1:

A(x) + B(x)

= (x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3) + (– x4 + 5x2 – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc

= x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3 – x4 + 5x2 – 3x + 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc

= (x4 – x4) + 2x3 + (– x2 + 5x2) + (9x – 3x) – (3 – 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc

= 2x3 + 4x2 + 6x – 2

Vậy A(x) + B(x) = 2x3 + 4x2 + 6x – 2.

Cách 2: Đặt tính. Ta thấy đa thức B(x) bị khuyết hạng tử bậc 3 nên ta để khoảng trống ứng với hạng tử này khi đặt tính.

Chú ý: Phép cộng đa thức cũng có tính chất như phép cộng số thực. Cụ thể là:

+ Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C);

+ Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.

2. Trừ hai đa thức một biến

• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “–”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

• Cách 2: Đặt tính trừ sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Ví dụ:

+ Cho hai đa thức A(x) = x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3; B(x) = – x4 + 5x2 – 3x + 1

Muốn tính hiệu A(x) – B(x) ta làm như sau:

Cách 1:

A(x) – B(x)

= (x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3) – (– x4 + 5x2 – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc

= x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3 + x4 – 5x2 + 3x – 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc

= (x4 + x4) + 2x3 – (x2 + 5x2) + (9x + 3x) – (3 + 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc

= 2x4 + 2x3 – 6x2 + 12x – 4

Vậy A(x) – B(x) = 2x4 + 2x3 – 6x2 + 12x – 4.

Cách 2:

Chú ý: Tương tự như các số, với các đa thức P, Q và R, ta cũng có:

- Nếu Q + R = P thì R = P – Q.

- Nếu R = P – Q thì Q + R = P.

Bài tập Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 1. Một xe khách đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 60 km/h. Sau đó 30 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 80km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi A(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và B(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm A(x) và B(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức G(x) = A(x) – B(x) có nghiệm là x = $\frac{3}{2}$. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm $\frac{3}{2}$ của đa thức G(x).

Hướng dẫn giải

a) Quãng đường xe du lịch đi được sau x giờ là: 80x (km)

Khi xe du lịch đi được x giờ thì xe khách đi được khoảng thời gian là:

x giờ + 30 phút = x + 0,5 (giờ)

Quãng đường xe khách đi được sau khi xe du lịch đi được x giờ là:

60 . (x + 0,5) = 60x + 30 (km)

Vậy A(x) = 80x; B(x) = 60x + 30.

b) G(x) = A(x) – B(x)

= 80x – (60x + 30)

= 80x – 60x – 30

= 20x – 30

Vậy G(x) = 20x – 30.

Ta có: $G\left(\frac{3}{2}\right)=20\cdot \frac{3}{2}-30=0$

Vậy x = $\frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức G(x).

Nghiệm x = $\frac{3}{2}$ cho thấy sau $\frac{3}{2}$ giờ thì quãng đường đi được của xe khách bằng xe du lịch hay sau 1,5 giờ thì hai xe gặp nhau.

Bài 2. Cho 3 đa thức:

A(x) = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2;

B(x) = 3x4 – x3 + x2 – 2x + 1;

C(x) = – 3x4 + x3 – 2x + 1;

a) Tính A(x) + B(x);

b) Tính A(x) – B(x);

c) Tính A(x) + B(x) + C(x);

d) Tính C(x) – B(x) – A(x).

Hướng dẫn giải

a) Cách 1:

A(x) + B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2) + (3x4 – x3 + x2 – 2x + 1)

= x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2 + 3x4 – x3 + x2 – 2x + 1

= (x4 + 3x4) + (2x3 – x3) + (2x2 + x2) – (x + 2x) – (2 – 1)

= 4x4 + x3 + 3x2 – 3x – 1

Cách 2: Đặt tính

b) Cách 1:

A(x) – B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2) – (3x4 – x3 + x2 – 2x + 1)

= x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2 – 3x4 + x3 – x2 + 2x – 1

= (x4 – 3x4) + (2x3 + x3) + (2x2 – x2) + (– x + 2x) – (2 + 1)

= – 2x4 + 3x3 + x2 + x – 3

Cách 2: Đặt tính

c) Đặt tính:

Vậy A(x) + B(x) + C(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 5x.

d) Đặt tính

Vậy C(x) – B(x) – A(x) = – 7x4 – 3x2 + x + 2.

Bài 3. Cho P(x) = 2x4 – x2 + x – 2; Q(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1.

a) Tìm đa thức H(x), biết H(x) + P(x) = Q(x);

b) Tìm đa thức M(x), biết M(x) – Q(x) = P(x).

Hướng dẫn giải

a) H(x) + P(x) = Q(x)

nên H(x) = Q(x) – P(x)

= (3x4 + x3 + 2x2 + x + 1) – (2x4 – x2 + x – 2)

= 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1 – 2x4 + x2 – x + 2

= (3x4 – 2x4) + x3 + (2x2 + x2) + (x – x) + (1 + 2)

= x4 + x3 + 3x2 + 3

Vậy H(x) = x4 + x3 + 3x2 + 3.

b) M(x) – Q(x) = P(x)

nên M(x) = Q(x) + P(x)

= (3x4 + x3 + 2x2 + x + 1) + (2x4 – x2 + x – 2)

= 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1 + 2x4 – x2 + x – 2

= (3x4 + 2x4) + x3 + (2x2 – x2) + (x + x) + (1 – 2)

= 5x4 + x3 + x2 + 2x – 1

Vậy M(x) = 5x4 + x3 + x2 + 2x – 1.