Lý thuyết Đa thức một biến (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 25: Đa thức một biến

Lý thuyết Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Ví dụ:

+ Biểu thức 5x2 là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức $-\frac{1}{2}x$ có hệ số là $-\frac{1}{2}$ và có bậc là 1 vì x = x1.

+ Đơn thức x4 có hệ số là 1 (vì x4 = 1x4) và bậc là 4.

+ Cộng hai đơn thức cùng bậc: 2x3 + 7x3 = (2 + 7)x3 = 9x3.

+ Trừ hai đơn thức cùng bậc: – 4x5 – x5 = (– 4 – 1)x5 = – 5x5.

+ Nhân hai đơn thức: – 3x2.$\left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\left(-3\cdot \frac{2}{3}\right)\left(x^2\cdot x\right)$ = – 2x3.

Chú ý:

• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.

Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x0.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

2. Khái niệm đa thức một biến

• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Một đơn thức cũng là một đa thức.

• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Ví dụ:

+ Biểu thức – 4x4 + 2x – 10 là đa thức một biến với các hạng tử là – 4x4; 2x và – 10.

+ Các đơn thức x4; $\sqrt{2}x$; – 1 cũng là đa thức.

Chú ý:

• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn: M = M(x) = x3 – 2x2 + 7x + 1.

3. Đa thức một biến thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.

• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

Ví dụ:

+ Đa thức A = 5x2 + 6x3 – x + 1 là đa thức thu gọn vì không có hai đơn thức nào cùng bậc.

+ Đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 là đa thức chưa thu gọn vì có hai đơn thức cùng bậc là – 3x2 và x2.

Để thu gọn đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 ta làm như sau:

B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4

= (– 3x2 + x2) – 12 + x5 – 2x4← Đổichỗ và nhóm hai đơn thức cùng bậc 2

= (– 3 + 1)x2 – 12 + x5 – 2x4← Cộng hai đơn thức cùng bậc

= –2x2 – 12 + x5 – 2x4← Đa thức thu gọn

4. Sắp xếp đa thức một biến

• Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ:

+ Sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1

+ Đa thức P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1 có đơn thức bậc 4 và bậc 2 nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Khi cần ta có thể viết là:

P = – 2x4 + 0x3 + 7x2 – 3x + 1

Chú ý:

• Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa tăng dần của biến, ta được: P =1 – 3x + 7x2 – 2x4.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7 ta làm như sau:

Thu gọn đa thức Q

Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7

= (2x3 – 2x3) – 3x2 – x + 7

= – 3x2 – x + 7

Trong dạng thu gọn của Q, hạng tử có bậc cao nhất là – 3x2 nên bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là – 3.

Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x0) nên hệ số tự do là 7.

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.

• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0)

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

6. Nghiệm của đa thức một biến

• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Đa thức F(x) = x2 – 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 vì

F(2) = 22 – 4 = 0; F(– 2) = (– 2)2 – 4 = 0.

+ Đa thức G(x) = 1 + x2 không có nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên G(x) = 1 + x2 ≥ 1 > 0.

+ Đa thức P(x) = x2 + x có hệ số tự do là 0.

Mà ta có P(0) = 02 + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.

Bài tập Đa thức một biến

Bài 1. Cho đa thức A(x) = x2 – 4x – 5.

Trong các số – 1; 0 và 1, số nào là nghiệm của đa thức A(x).

Hướng dẫn giải

Ta có:

A(– 1) = (– 1)2 – 4.(–1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0 nên – 1 là một nghiệm của A(x)

A(0) = 02 – 4.0 – 5 = 0 – 0 – 5 = – 5 ≠ 0 nên 0 không là nghiệm của A(x)

A(1) = 12 – 4.1 – 5 = 1 – 4 – 5 = – 8 ≠ 0 nên 1 không là nghiệm của A(x)

Vậy trong các số – 1; 0 và 1 thì – 1 là nghiệm của A(x).

Bài 2. Tính rồi tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

a) $\left(-\frac{1}{2}x\right)\cdot 8x^3$;

b) $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2$;

c) $\frac{1}{8}{x}^5\cdot {\left(2x\right)}^3$

d) – 9x4 + (2x2)2

Hướng dẫn giải

a) $\left(-\frac{1}{2}x\right)\cdot 8x^3$ = $\left(-\frac{1}{2}\cdot 8\right)\left(x\cdot x^3\right)$ = – 4x4

Đơn thức – 4x4 có hệ số là – 4, bậc 4.

b) $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2$ = $\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)x^2$ = – x2

Đơn thức – x2 có hệ số là – 1, bậc 2.

c) $\frac{1}{8}{x}^5\cdot {\left(2x\right)}^3$ = $\frac{1}{8}{x}^5\cdot 8x^3$ = $\left(\frac{1}{8}\cdot 8\right)\left(x^5\cdot x^3\right)$ = x8

Đơn thức x8 có hệ số là 1, bậc 8.

d) – 9x4 + (2x2)2 = – 9x4 + 4x4 = (– 9 + 4)x4 = – 5x4

Đơn thức – 5x4 có hệ số là – 5, bậc 4.

Bài 3. Cho hai đa thức:

P(x) = – 2x4 – 7x + $\frac{1}{2}$ – 6x4 + 2x2 – x;

Q(x) = 3x3 – x4 – 5x2 + x3 – 6x + 9 + x4.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta tiến hành đồng thời vừa thu gọn, vừa sắp xếp các hạng tử của đa thức bằng cách cộng các hạng tử cùng bậc (nếu có) từ bậc cao đến bậc thấp.

P(x) = – 2x4 – 7x + $\frac{1}{2}$ – 6x4 + 2x2 – x

= (– 2x4 – 6x4) + 2x2 – (7x + x) + $\frac{1}{2}$

= (– 2 – 6) x4 + 2x2 – (7 + 1)x + $\frac{1}{2}$

= – 8x4 + 2x2 – 8x + $\frac{1}{2}$

Q(x) = 3x3 – x4 – 5x2 + x3 – 6x + 9 + x4

= (– x4 + x4) + (3x3 + x3) – 5x2 – 6x + 9

= (– 1 + 1)x4 + (3 + 1)x3 – 5x2 – 6x + 9

= 0x4 + 4x3 – 5x2 – 6x + 9

= 4x3 – 5x2 – 6x + 9

b)

Trong dạng thu gọn của P(x), hạng tử có bậc cao nhất là – 8x4 nên bậc của đa thức P(x) là 4, hệ số cao nhất là – 8. Hạng tử bậc 0 là $\frac{1}{2}$ (vì $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$x0) nên hệ số tự do là $\frac{1}{2}$.

Trong dạng thu gọn của Q(x), hạng tử có bậc cao nhất là 4x3 nên bậc của đa thức Q(x) là 3, hệ số cao nhất là 4. Hạng tử bậc 0 là 9 (vì 9 = 9x0) nên hệ số tự do là 9.