Lý thuyết Tập hợp các số thực (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

A. Lý thuyết Tập hợp các số thực

1. Khái niệm số thực và trục số thực

• Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp số thực được kí hiệu là $\mathrm{ℝ}$.

Ví dụ:

+ Số $0,6=\frac{3}{5}$ là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

+ Số $-2=\frac{-2}{1}$ là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

+ Số $\sqrt{2}=1,\mathrm{4142...}$ là một số vô tỉ nên cũng là một số thực.

Chú ý:

• Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là – a.

Ví dụ: Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$;  số đối của $-\frac{3}{5}$ là $\frac{3}{5}$.

• Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

• Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

• Trong tập hợp số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ ta làm như sau:

$-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$

$=-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{9}{4}-\frac{5}{4}$                    (Tính chất giao hoán)

$=\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)+\left(\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\right)$             (Tính chất kết hợp)

$=0+\frac{4}{4}$                                         (Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0)

$=0+1=1$                                     (Cộng với số 0)

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

• Các số thực đều được viết dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế có thể so sánh hai số thực bằng cách viết dưới dạng số thập phân.

• Cũng như các số hữu tỉ, ta có

  Với hai số thực a và b bất kì ta luôn có a = b hoặc a < b hoặc a > b.

  Cho ba số thực a, b, c. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

• Trên trục số thực, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b. Các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương.

 • x là số âm, ta viết: x < 0; x là số dương, ta viết: x > 0.

Ví dụ:

+ So sánh $-\sqrt{2}$ và ­– 1,5 ta làm như sau: $\sqrt{2}=1,\mathrm{4142...}<1,5$ nên $-\sqrt{2}>-1,5$.

+ So sánh $\sqrt{3}$ và $-\sqrt{5}$ ta làm như sau: Vì $\sqrt{3}>0$ và $-\sqrt{5}<0$ nên $\sqrt{3}>-\sqrt{5}$.

+ Ta có $1<\sqrt{3}<2$ nên điểm biểu diễn của $\sqrt{3}$ trên trục số nằm giữa hai điểm A và B.

Chú ý:

• Nếu 0 < a < b thì $\sqrt{\mathrm{a}}<\sqrt{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: 0 < 3 < 5 thì $\sqrt{3}<\sqrt{5}$.

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

• Với số thực a tùy ý, ta có khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là $\left|\mathrm{a}\right|$.

• Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

• Giá trị tuyệt đối của 0 là 0.

• Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.

• Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó.

$\left|\mathrm{a}\right|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}>0\\ -\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}<0\\ 0\mathrm{khi}\mathrm{a}=0\end{array}\right.$

Ví dụ:

+ Số 1 và –1 là hai số đối nhau và có cùng giá trị tuyệt đối là 1

$\left|1\right|=\left|-1\right|=1$

+ Số $\frac{3}{4}>0$ nên $\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$

+ Số $-\sqrt{3}<0$ nên $\left|-\sqrt{3}\right|=-\left(-\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}$

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Xác định tất cả giá trị của x để $\left|{\mathrm{x}}^2\right|=49$?

A. { 7 };

B. { -7 };

C. {$\varnothing$};

D. {7; -7 }.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left|{\mathrm{x}}^2\right|=49$

x2 = 49

x2 = 72 = (– 7)2

x = 7 hoặc x = – 7.

Vậy các giá trị x cần tìm là {7; – 7}.

Bài 2. Cho hình dưới đây, hãy cho biết điểm A chỉ số thực nào?

A. $\frac{5}{2}$;

B. $-\frac{5}{2}$;

C. $\frac{2}{5}$;

D.$-\frac{2}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đoạn thẳng đơn vị được chia thành 5 phần bằng nhau. Đoạn thẳng OA chiếm 2 đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{5}$ đơn vị cũ). Mà A nằm bên trái O, do đó A biểu diện số âm.

Vậy điểm A biểu diễn số $\frac{-2}{5}$.

Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x}\right|\mathrm{x}\in \mathrm{\mathbb{Z}},\left|{\mathrm{x}}^2\right|\le 4$}?

A. { 1; 2; 3; 4 };

B. {-1; -2; -3; -4 };

C. {-1; -2; 0; 1; 2 };

D. {-1; -2; -3; 1; 2; 3 }.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\left|{\mathrm{x}}^2\right|\le 4$

$\left|{\mathrm{x}}^2\right|\le 2^2$

${\mathrm{x}}^2\le 2^2$ hoặc ${\mathrm{x}}^2\le {(-2)}^2$

Nếu $\mathrm{x}\ge 0$ thì $\mathrm{x}\le 2$ thì x={0; 1; 2} (do x là số nguyên)

Nếu $\mathrm{x}<0$ thì  $\mathrm{x}\ge -2$ thì x={-1; -2} (do x là số nguyên)

B2. Bài tập tự luyện

Bài 4. So sánh:

a) 28,03 và 28,0(23)

b) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$

c) –2 và $-\sqrt{3}$

d) –19,11 và –19,(1)

e) $\sqrt{2+3+4}$ và 3

f) $\left|-5\right|$ và $\left|3\right|$

Hướng dẫn giải

a) Vì 3 > 2 nên 28,03 > 28,02323… nên 28,03 > 28,0(23)

b) Vì $5<7$ nên $\sqrt{5}$ < $\sqrt{7}$

c) Vì 2 > 0 nên $2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$. Mà 4 > 3 nên $\sqrt{4}>\sqrt{3}$

Do đó $2>\sqrt{3}$. Vậy –2 < $-\sqrt{3}$

d) Vì 0 < 1 nên 19,110 < 19,111 nên –19,11 > –19,(1)

e) $\sqrt{2+3+4}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$ nên $\sqrt{2+3+4}=3$

f) $\left|-5\right|=5$ (vì $-5<0$) và $\left|3\right|=3$ (vì 3 > 0). Mà 5 > 3 nên $\left|-5\right|$ > $\left|3\right|$

Bài 5. Cho tập hợp A = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; π; $\sqrt{5}$; $-\sqrt{36}$}. Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết:

a) Tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập hợp A;

b) Tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập hợp A;

c) Tập hợp D gồm các số thực thuộc tập hợp A;

d) Tập hợp A’ gồm các số đối của các số thuộc tập hợp A.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $-\sqrt{36}=-\sqrt{6^2}=-6$

Vì 1,9; -2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9};-\sqrt{36}$ là số hữu tỉ nên B = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; $-\sqrt{36}$}

b) Vì $\pi ;\sqrt{5}$ là số vô tỉ nên C = {π; $\sqrt{5}$}

c) Vì các số hữu tỉ và các số vô tỉ đều là số thực nên D = {1,9; –2,(6); 10; $1\frac{2}{5}$; $-\frac{8}{9}$; π; $\sqrt{5}$; $-\sqrt{36}$}

d) Số đối của 1,9 là – 1,9

Số đối của – 2,(6) là 2,(6)

Số đối của 10 là -10

Số đối của $1\frac{2}{5}$ là $-1\frac{2}{5}$

Số đối của $\frac{-8}{9}$ là $\frac{8}{9}$

Số đối của $\mathrm{\pi }$ là – $\mathrm{\pi }$

Số đối của $\sqrt{5}$ là $-\sqrt{5}$

Số đối của $-\sqrt{36}$ là $\sqrt{36}$

Vậy A’ = {–1,9; 2,(6); –10; –$1\frac{2}{5}$; $\frac{8}{9}$; –π; $-\sqrt{5}$; $\sqrt{36}$}

Bài 6. Tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) $-\frac{1}{7}$

b) $\frac{5}{4}$

c) $-3\frac{1}{5}$

d) $\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) Vì $-\frac{1}{7}$ < 0 nên $\left|-\frac{1}{7}\right|=\frac{1}{7}$

b) Vì $\frac{5}{4}$ > 0 nên $\left|\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}$

c) Vì $-3\frac{1}{5}$ < 0 nên $\left|-3\frac{1}{5}\right|=3\frac{1}{5}$

d) Vì $\sqrt{2}$ > 0 nên $\left|\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$