Lý thuyết Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lý thuyết Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

• Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ 1: Cho $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ suy ra $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1+2}{2+4}=\frac{3}{6}$ và $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1-2}{2-4}=\frac{-1}{-2}$

Ví dụ 2: Tìm hai số x và y, biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$ và x + y = 21

Hướng dẫn giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{2+5}=\frac{x+y}{7}=\frac{21}{7}=3$

Từ đây tính được: x = 3 . 2 = 6 và y = 3 . 5 = 15

Vậy x = 6; y = 15.

Mở rộng:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:

• Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

• Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ , ta còn nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f.

Khi đó ta cũng viết: a : c : e = b : d : f

Ví dụ 3:

Cho $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$

Suy ra $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1+2+5}{2+4+10}=\frac{8}{16}$

và $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1-2+5}{2-4+10}=\frac{4}{8}$

Ví dụ 4: Tìm ba số x, y, z, biết $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$ và x + y + z = 450

Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{x+y+z}{3+5+7}=\frac{x+y+z}{15}=\frac{450}{15}=30$

Từ đây tính được: x = 3 . 30 = 90; y = 5 . 30 = 150 và z = 7 . 30 = 210

Bài tập Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Bài 1. Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2 ; 4 ; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn biết rằng ba bạn có 44 viên bi.

Hướng dẫn giải:

Gọi số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là x (viên bi), y (viên bi), z (viên bi) (x; y; z $\in {\mathbb{N}}^{*}$; x; y; z < 44).

Số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5 nghĩa là $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$.

Ba bạn có tất cả 44 viên bi nghĩa là x + y + z = 44.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+4+5}=\frac{44}{11}=4$

Từ đó ta tính được: x = 4 . 2 = 8; y = 4 . 4 = 16; z = 4 . 5 = 20.

Vậy số viên bi của Minh, Hùng, Dũng lần lượt là 8, 16, 20 viên bi.

Bài 2. Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp 7A là 0,8 và lớp 7B trồng nhiều hơn 20 cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng.

Hướng dẫn giải:

Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B lần lượt là x (cây); y (cây) (x; y; z $\in {\mathbb{N}}^{*}$; x; y; z < 44).

Tỉ số giữa số cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là 0,8 nghĩa là x : y = 0,8 hay $\frac{x}{y}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{5}$.

Lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là 20 cây nghĩa là y – x = 20.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{y-x}{5-4}=\frac{20}{1}=20$

Do đó: x = 20 . 4 = 80; y = 20 . 5 = 100.

Vậy Lớp 7A trồng được 80 cây.

Lớp 7B trồng được 100 cây.

Bài 3. Tìm hai số x và y biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{-5}$và x – y = -7

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{-5}=\frac{x-y}{2-(-5)}=\frac{x-y}{7}=\frac{-7}{7}=-1$

Từ đây tính được: x = 2 . (-1) = -2 và y = (-5) . (-1) = 5

Bài 4. Tìm diện tích hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa 2 cạnh của nó là $\frac{2}{5}$ và chu vi là 28m.

Hướng dẫn giải:

Gọi x (m) là chiều rộng, y (m) là chiều dài (x, y > 0)

Ta có chu vi hình chữ nhật là 28m

⇒ (x + y) . 2 = 28

⇒ x + y = 28 : 2 = 14

Tỉ số giữa hai cạnh là $\frac{2}{5}$

Suy ra $\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$hay $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{2+5}=\frac{14}{7}=2$

Suy ra: x = 2 . 2 = 4 và y = 5 . 2 = 10.

Do đó, chiều rộng của hình chữ nhật là 4m và chiều dài của hình chữ nhật là 10 m.

Vậy diện tích hình chữ nhật S = 4 . 10 = 40 (m2)