Lý thuyết Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 10: Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

A. Lý thuyết Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

• Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ:

+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Chú ý:

• Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Ví dụ: Cho a và b là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\widehat{\mathrm{BAy}}=50°$. Tính $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc so le trong). Do đó $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=50°$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc đồng vị). Do đó $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=50°$

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{xx}\text{'}$ thì $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ và $\mathrm{c}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ thì $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{c}$

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Ta có a, b phân biệt; nếu a // c và b // c thì:

A. $\mathrm{a}\perp \mathrm{b}$;                                                                     

B. $\mathrm{a}\equiv \mathrm{b}$;

C. $\mathrm{a}\cap \mathrm{b}$;                                                                            

D. a // b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Bài 2. Cho hình vẽ như bên dưới. Tính $\widehat{{\mathrm{M}}_3}$, biết $\widehat{{\mathrm{N}}_2}=137°$.

A. 137o                                                                               

B. 43o;                                                                                

C. 37o;                                                                                

D. 149o.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat{{\mathrm{M}}_3}$ và $\widehat{{\mathrm{N}}_1}$ là hai góc so le trong suy ra $\widehat{{\mathrm{M}}_3}=\widehat{{\mathrm{N}}_1}$(1)

Lại có $\widehat{{\mathrm{N}}_1}$ và $\widehat{{\mathrm{N}}_2}$ là hai góc kề bù suy ra $\widehat{{\mathrm{N}}_1}+\widehat{{\mathrm{N}}_2}=180°$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{{\mathrm{M}}_3}+\widehat{{\mathrm{N}}_2}=180°\Rightarrow \widehat{{\mathrm{M}}_3}=180°-137°=43°$

Vậy $\widehat{{\mathrm{M}}_3}=43°$.

Bài 3. Cho hình vẽ bên dưới. Tính số đo góc OHC, biết MN // BC và $\widehat{\mathrm{AOM}}=59°$

A. 69°;                                                                                

B. 121°;                                                                              

C. 59°;                                                                                

D. 130°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do MN // BC nên góc AOM và góc OHB là hai góc đồng vị do đó $\widehat{\mathrm{AOM}}=\widehat{\mathrm{OHB}}=59°$(1).

Lại có, góc OHB và góc OHC là hai góc kề bù nên $\widehat{\mathrm{OHB}}+\widehat{\mathrm{OHC}}=180°$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{OHC}}=180°-59°=121°$.

Vậy $\widehat{\mathrm{OHC}}=121°$.

B2. Bài tập tự luận

Bài 4. Cho hình vẽ, biết $\mathrm{mn}\text{//}\mathrm{ab}$ và $\widehat{\mathrm{xHm}}=120°$.

Tính các góc còn lại trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{\mathrm{nHy}}=\widehat{\mathrm{xHm}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{nHy}}=120°$

Ta có: $\widehat{\mathrm{xHm}}+\widehat{\mathrm{xHn}}=180°$ (hai góc kề bù)

Thay số: $120°+\widehat{\mathrm{xHn}}=180°$

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xHn}}=180°-120°$

$\widehat{\mathrm{xHn}}=60°$

Có: $\widehat{\mathrm{mHy}}=\widehat{\mathrm{xHn}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{mHy}}=60°$

Vì $\mathrm{mn}\text{//}\mathrm{ab}$ nên:

$\widehat{\mathrm{xKb}}=\widehat{\mathrm{mHy}}$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xKb}}=60°$

$\widehat{\mathrm{xKa}}=\widehat{\mathrm{xHm}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xKa}}=120°$

$\widehat{\mathrm{aKy}}=\widehat{\mathrm{mHy}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{aKy}}=60°$

$\widehat{\mathrm{bKy}}=\widehat{\mathrm{nHy}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{bKy}}=120°$

Vậy $\widehat{\mathrm{nHy}}=120°$; $\widehat{\mathrm{xHn}}=60°$; $\widehat{\mathrm{mHy}}=60°$; $\widehat{\mathrm{xKb}}=60°$; $\widehat{\mathrm{xKa}}=120°$; $\widehat{\mathrm{aKy}}=60°$; $\widehat{\mathrm{bKy}}=120°$.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng m đi qua A và song song với BC. Vẽ đường thẳng n đi qua B và song song với AC. Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng m, bao nhiêu đường thẳng n? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Vì theo tiên đề Euclid, qua điểm A ở ngoài BC, chỉ có một đường thẳng song song với BC. Nên chỉ vẽ được một đường thẳng m duy nhất.

Vì theo tiên đề Euclid, qua điểm B ở ngoài AC, chỉ có một đường thẳng song song với AC. Nên chỉ vẽ được một đường thẳng n duy nhất.

Bài 6. Cho hình dưới đây. Giải thích tại sao:

a) $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ML}$;

b) $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ON}$;

c) $\mathrm{MN}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ON}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{\mathrm{KJL}}=\widehat{\mathrm{JLM}}=30°$

Mà hai góc ở vị trí so le trong.

Do đó $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ML}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Ta có: $\widehat{\mathrm{JKL}}=\widehat{\mathrm{ONI}}=70°$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ON}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

c) Ta có: $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ML}$ (theo câu a) và $\mathrm{JK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ON}$ (theo câu b)

Do đó $\mathrm{MN}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{ON}$ (tính chất hai đường thẳng song song).

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

• Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ:

+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Chú ý:

• Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Ví dụ: Cho a và b là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu đường thẳng c cắt đường thẳng a thì cũng cắt đường thẳng b.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\widehat{\mathrm{BAy}}=50°$. Tính $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc so le trong). Do đó $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=50°$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$ (hai góc đồng vị). Do đó $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=50°$

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{xx}\text{'}$ thì $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ và $\mathrm{c}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ thì $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{c}$