Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

Trong hình trên đây:

+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ AH vuông góc với d và H nằm trên đường thẳng d. Lấy bất kì ba điểm B, C, D thuộc đường thẳng d và không trùng với H. So sánh độ dài đoạn AH và các đoạn AB, AC, AD.

Trong hình vẽ trên đây, AH được gọi là đường vuông góc và AB, AC, AD lần lượt là các đường xiên.

Theo định lí 1 ta suy ra đươc trong các đoạn thẳng MH, MA, MB, MC thì MH là đường ngắn nhất hay AH < AB, AH < AC, AH < AD.

Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M thuộc đoạn thẳng BC, M khác B và C. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AB, AC là một số không đổi.

Hướng dẫn giải

Gọi BG và CH là đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.

Gọi MD, ME lần lượt là khoảng cách từ M đến AB và AC.

Kẻ MF song song với cạnh AC (F thuộc AB)

MF giao với BG tại điểm I.

Tương tự cách làm của Bài 1 thì ta dễ dàng suy ra được: BG = CH (4)

Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là MD + ME (1)

Ta có:

+) BG và ME cùng vuông góc với AC nên suy ra ME // BG hay ME // IG

Lại có: MF song song với AC hay MI // EG

Nên suy ra MIGE là hình chữ nhật. Từ đó ta có ME = IG (2)

+) Tam giác FBM cân tại F do hai góc B và M bằng nhau.

Với MD là khoảng cách từ M đến FB và BI là khoảng cách từ điểm B đến FM.

Chứng minh tương tự Bài 1, ta dễ dàng suy ra được MD = BI (3)

Từ (1), (2), (3), (4) nên suy ra: MD + ME = BI + IG = BG = CH.

Vậy suy ra tổng khoảng cách từ M đến AB và AC chính bằng khoảng cách từ C đến AB nên không đổi (đpcm).

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Kẻ BD $\perp$ AC; CE $\perp$ AB (D $\in$ AC, E $\in$ AB).

Xét ∆ADB và ∆AEC có:

$\hat{A}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

Bài 3: Cho hai điểm phân biệt A, B ở cùng phía đối với đường thẳng d (A, B không thuộc d). Chứng minh rằng nếu A, B có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì AB song song với d.

Hướng dẫn giải

Kẻ AC, BD vuông góc với d nên suy ra được AC // BD.

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{BDA}$(hai góc ở vị trí so le trong)

Theo giả thiết ta có: AC = BD

Xét ∆ACD và ∆DBA có:

AD là cạnh chung

$\widehat{CAD}=\widehat{BDA}$(cmt)

AC = BD (giả thiết)

Do đó ∆ACD = ∆DBA (g.c.g).

Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{DAB}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ADC}$và $\widehat{DAB}$ở vị trí so le trong.

Do đó AB // CD hay AB // d (đpcm).