Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

1. Tam giác cân và tính chất

• Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, $\Delta ABC$có cạnh AB = AC được gọi là tam giác cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, $\hat{B}$và $\hat{C}$là hai góc ở đáy, $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

• Tính chất:

+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A thì $\hat{B}$=$\hat{C}$. Ngược lại, tam giác ABC có $\hat{B}$=$\hat{C}$thì tam giác ABC cân tại A.

Chú ý:

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và bằng 60°.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB = AC = BC thì tam giác ABC được gọi là tam giác đều. Tam giác ABC đều có $\hat{A}$= $\hat{B}$=$\hat{C}$= 60°.

• Một tam giác có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác đều.

• Tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì tam giác ấy là tam giác đều.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d vuông góc với đoạn AB tại M và M là trung điểm của AB. Khi đó d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

• Đường trung trực của đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

• Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và D ∈ d.

Khi đó DA = DB.

• Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Chú ý:

• Cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng bằng compa và thước thẳng.

Chẳng hạn: Vẽ đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

+ Vẽ đoạn thẳng AB;

+ Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn $\frac{AB}{2}$). Sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn cùng bán kính sao cho hai cung này cắt nhau tại hai điểm M và N;

+ Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua M và N. Đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

$\Delta ABC$ cân tại A ⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

Mà: $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180°$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)

BD = CE (theo giả thiết)

⇒ $\Delta ADB=\Delta AEC$ (c.g.c)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\Delta ADE$ cân tại A (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường phân giác của góc BAC (H ∈ BC). Chứng minh AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (AH là đường phân giác của $\widehat{BAC}$)

AH là cạnh chung

⇒ $\Delta ABH=\Delta ACH$ (c.g.c)

⇒ HB = HC (hai cạnh tương ứng) (1)

Và $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$ ⇒ AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AC và AB (H ∈ AC; K ∈ AB). Chứng minh rằng BH = CK.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BHA (vuông tại H) và tam giác CKA (vuông tại K) có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\hat{A}$ là góc chung

⇒ $\Delta BHA=\Delta CKA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Vậy BH = CK (đpcm).

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AI vuông góc với BC và AI là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

BI = CI (theo giả thiết)

AI là cạnh chung

⇒ $\Delta AIB=\Delta AIC$ (c.c.c)

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180°$

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

⇒ AI ⊥ BC (đpcm)

Vì $\Delta AIB=\Delta AIC$ (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (hai góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm).