Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ thuận (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 22: Đại lượng tỉ lệ thuận

Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Đại lượng tỉ lệ thuận

• Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = ax (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{a}$. Khi đó ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ: Nếu y = 5x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số 5, hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{1}{5}$ .

Nhận xét:

Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}=\mathrm{...}=a$

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_1}{x_2};\frac{y_1}{y_3}=\frac{x_1}{x_3};\frac{y_2}{y_3}=\frac{x_2}{x_3};\mathrm{...}$

Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Ta có: x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = a . x

Khi x = 2 thì y = -4 nên ta có $a=\frac{y}{x}=\frac{-4}{2}=-2$

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2 . x

Từ đó:

Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6

Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2

Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10

Vậy ta có bảng sau:

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, ta cần nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ:

Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

Hướng dẫn giải:

Gọi số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (cây) (x; y; z $\in {\mathbb{N}}^{*}$; x; y; z < 24)

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nghĩa là x : y : z = 32 : 28 : 36, hay $\frac{x}{32}=\frac{y}{28}=\frac{z}{36}$

Tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nghĩa là x + y + z = 24.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{32}=\frac{y}{28}=\frac{z}{36}=\frac{x+y+z}{32+28+36}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}$

Vậy:

$\frac{x}{32}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=32.\frac{1}{4}=8$

$\frac{y}{28}=\frac{1}{4}\Rightarrow y=28.\frac{1}{4}=7$

$\frac{z}{36}=\frac{1}{4}\Rightarrow z=36.\frac{1}{4}=9$

Vậy số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 8, 7, 9 (cây).

Bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 1. Gọi x, y, z theo thứ tự là số vòng quay của kim giờ, kim phút và kim giây trong cùng một thời gian. Tìm hệ số tỉ lệ của z đối với x.

Hướng dẫn giải:

Trên đồng hồ có 12 số chia mặt đồng hồ thành 12 khoảng bằng nhau.

Khi kim phút quay được một vòng thì kim giờ quay được một khoảng. Do đó, khi kim phút quay được 12 vòng thì kim giờ quay được một vòng.

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 12 tức là y = 12x.

Khi kim giây quay được 60 vòng thì kim phút quay được một vòng. Do đó, z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 60 tức là z = 60y.

Suy ra, z = 60y = 60 . 12x = 720x

Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 720.

Bài 2. Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ 2,5kg dâu. Theo công thức, cứ 2kg dâu thì cần 3kg đường. Hạnh bảo cần 3,75kg đường còn Vân bảo cần 3,25kg. Theo em ai đúng và vì sao?

Hướng dẫn giải:

Gọi khối lượng đường là y (kg), khối lượng dâu là x (kg). (x, y > 0)

Vì khối lượng đường tỉ lệ thuận với khối lượng dâu nên ta có y = ax

Theo điều kiện đề bài x = 2 thì y = 3 suy ra 3 = a . 2 hay $a=\frac{3}{2}$.

Do đó: $y=\frac{3}{2}x$

Khi x = 2,5kg thì $y=\frac{3}{2}.2,5=3,75$(kg).

Vậy khi làm 2,5kg dâu thì cần 3,75kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

Bài 3. Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a = $-\frac{3}{5}$. Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a = $-\frac{3}{5}$⇒ y = $-\frac{3}{5}$. x

⇒ x = $-\frac{5}{3}$ . y Hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là $-\frac{5}{3}$ .

Bài 4. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:

a)

b)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{1}{9}=\frac{2}{18}=\frac{3}{27}=\frac{4}{36}=\frac{5}{45}$

⇒ y = 9x

Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

b) Ta có:

$\frac{1}{12}=\frac{2}{24}=\frac{5}{60}=\frac{6}{72}\ne \frac{9}{90}$

Do đó, hai đại lượng x và y không tỉ lệ thuận với nhau.