Lý thuyết Phép chia đa thức một biến (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Lý thuyết Phép chia đa thức một biến

1. Làm quen phép chia đa thức

• Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0). Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:

A : B = Q (hay $\frac{A}{B}=Q$), trong đó

A là đa thức bị chia;

B là đa thức chia (kí hiệu B ≠ 0 có nghĩa B không phải là đa thức không).

Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

• Cho hai đơn thức axm và bxn (m; n ∈ ℕ, a; b ∈ ℝ, b ≠ 0).

Khi đó nếu m ≥ n thì ta có phép chia axm cho bxn là phép chia hết và ta có:

axm : bxn = $\frac{a}{b}$xm – n (quy ước: x0 = 1).

Ví dụ:

+ Tính 3x7 : $\left(-\frac{1}{2}{x}^4\right)$ ta làm như sau: 3x7 : $\left(-\frac{1}{2}{x}^4\right)$ = $\left(3:\frac{-1}{2}\right)x^{7-4}$ = – 6x3.

Chú ý:

• axm : bxn được hiểu là axm : (bxn)

Chẳng hạn: 4x5 : 2x2 được hiểu là 4x5 : (2x2).

2. Chia đa thức cho đa thức

• Muốn chia một đa thức cho một đa thức, ta đặt tính và chia (tương tự phép chia hai số tự nhiên) cho đến khi được đa thức dư là đa thức không, hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

• Khi đặt tính chia, nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

• Nếu chia đa thức A cho đa thức B, ta được đa thức thương là Q, đa thức dư là R thì:

+ Đa thức dư R = 0 (khi chia hết) hoặc R là đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức B (nếu không chia hết).

+ Ta có đẳng thức: A = B.Q + R.

Ví dụ:

+ Cho A = 2x3 – 5x2 + 6x – 15; B = 2x – 5. Để tính A : B ta làm như sau:

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức A cho đa thức B là phép chia hết, có đa thức thương là x2 + 3.

+ Cho đa thức P = 5x3 – 3x2 + x – 7; Q(x) = x2 + 1. Để tính P : Q ta làm như sau

Dư cuối cùng có bậc thấp hơn bậc của đa thức chia nên quá trình chia kết thúc.

Vậy phép chia đa thức P cho đa thức Q là phép chia có dư, có đa thức thương là 5x – 3, đa thức dư là – 4x – 4.

Chú ý: Khi chia đa thức cho một đơn thức có thể không cần đặt tính chia.

Chẳng hạn chia đa thức 6x3 – 2x2 + x cho đơn thức 0,5x, ta làm như sau:

(6x3 – 2x2 + x) : 0,5x

= 6x3 : 0,5x – 2x2 : 0,5x + x : 0,5x

= 12x2 – 4x + 2.

Bài tập Phép chia đa thức một biến

Bài 1. Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:

a) (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1);

b) (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5);

c) (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3);

d) (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1).

Hướng dẫn giải

a) (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1)

Vậy (6x4 – 2x3 – 9x + 3) : (3x – 1) = 2x3 – 3.

b) (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5)

Vậy (– 3x3 + 5x2 – 9x + 15) : (– 3x + 5) = x2 + 3.

c) (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3)

Vậy (3x4 – 8x3 – 11x2 + 8x – 5) : (3x2 – 2x + 3) = x2 – 2x – 6 dư 2x + 13.

d) (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1)

Bài 2. Tính

a) 9x6 : 3x3;

b) 225x7 : (– 25x2);

c) $\frac{2}{5}$(– x)3 : $\frac{1}{10}$x;

d) (– 4,62x5) : (–3x4).

Hướng dẫn giải

a) 9x6 : 3x3 = (9 : 3)(x6 : x3) = 3x6 – 3 = 3x3.

b) 225x7 : (– 25x2) = [225 : (– 25)](x7 : x2) = – 9x7 – 2 = – 9x5.

c) $\frac{2}{5}$(– x)3 : $\frac{1}{10}$x = (– $\frac{2}{5}$x3) : $\frac{1}{10}$x = $\left(-\frac{2}{5}:\frac{1}{10}\right)$(x3 : x) = – 4x3 – 1 = – 4x2.

d) (– 4,62x5) : (–3x4) = [(– 4,62) : (–3)](x5 : x4) = 1,54x5 – 4 = 1,54x.

Bài 3. Thực hiện các phép chia sau:

a) (– 10x3 + 25x2 – 8x) : (– 5x);

b) (2x5 + 6x3 – 3x2) : 2x2.

Hướng dẫn giải

a) (– 10x3 + 25x2 – 8x) : (– 5x)

= (– 10x3) : (– 5x) + (25x2) : (– 5x) – (8x) : (– 5x)

= 2x2 – 5x + $\frac{8}{5}$.

b) (2x5 + 6x3 – 3x2) : 2x2

= 2x5 : 2x2 + 6x3 : 2x2 – 3x2 : 2x2

= x3 + 3x – $\frac{3}{2}$.

Vậy (x5 – 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 10) : (x2 + 1) = x3 – 3x2 + 3x + 5 dư 5.