Lý thuyết Định lí và chứng minh định lí (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

A. Lý thuyết Định lí và chứng minh định lí

1. Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí

• Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:

Nếu … thì …

+ Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.

+ Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.

Giả thiết, kết luận viết tắt tương ứng là GT và KL.

Ví dụ:

+ Định lí “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” được suy ra từ khẳng định đúng là “hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°).

Giả thiết là: hai góc đối đỉnh

Kết luận là: hai góc đó bằng nhau.

Ta viết giả thiết và kết luận của định lý trên bằng kí hiệu như sau:

2. Chứng minh định lí

• Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.

Ví dụ:

+ Chứng minh định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” như sau:

Ta có: $\widehat{\mathrm{xOy}}$ + $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ = 180° (hai góc kề bù)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xOy}}$ = 180° − $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ (1)

Lại có: $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$+ $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ = 180° (hai góc kề bù)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ = 180° − $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xOy}}$ = $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ (đpcm)

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho định lí: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại”.

Hình vẽ minh hoạ cho định lí trên là:

A. Hình 1, Hình 2;

B. Hình 2, Hình 3;                                                      

C. Hình 3, Hình 4;                                                              

D. Hình 1, Hình 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình 2 không thỏa mãn điều kiện hai đường thẳng song song nên loại phương án A, B.

Hình 4 không thỏa mãn điều kiện vuông góc với một trong hai đường thẳng nên loại phương án C.

Hình 1, 3 thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy chọn phương án D.

Bài 2. Phát biểu định lí sau bằng lời.

A. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau;                                 

B. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;                                         

C. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;                              

D. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu một đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, m song song với nhau.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 3. Điền vào chỗ trống nội dung phù hợp.

A. kết luận;                                                                         

B. khẳng định;                                                                    

C. chứng minh;                                                                   

D. Cả 3 đáp án đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết vậy phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận.

Vậy chọn đáp án A.

B2. Bài tập tự luận

Bài 4. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Hướng dẫn giải

Vì Px là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{aPy}}$ nên $\widehat{\mathrm{xPy}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{aPy}}$  

Vì Pz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{yPb}}$ nên $\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{yPb}}$ 

Nên $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{aPy}}+\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{yPb}}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\mathrm{aPy}}+\widehat{\mathrm{yPb}}\right)$

Mà ta có: $\widehat{\mathrm{aPy}}$ + $\widehat{\mathrm{yPb}}$ = 180° (hai góc kề bù)

Do đó: $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\cdot 180°=90°$

Mặt khác: $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\widehat{\mathrm{xPz}}$

Vậy $\widehat{\mathrm{xPz}}=90°$, tức là $\widehat{\mathrm{xPz}}$ là góc vuông.

Bài 5. Cho hình vẽ dưới đây. Biết Ax song song với Cy.

Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$

Hướng dẫn giải

Qua B, kẻ đường thẳng mn song song với đường thẳng chứa tia Ax.

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ nên $\widehat{\mathrm{xAB}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (hai góc so le trong)  (1)

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ mà $\text{Ax\hspace{0.17em}//}\mathrm{Cy}$ (giả thiết)

Do đó: $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ (tính chất hai đường thẳng song song)

Vì $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ nên $\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Mà $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Vậy $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (đpcm)

Bài 6. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Hướng dẫn giải

Vì $\mathrm{xx}\text{'}\perp \mathrm{zz}\text{'}$ tại A  nên $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{AB}}=90°$

Vì $\mathrm{yy}\text{'}\perp \mathrm{zz}\text{'}$ tại B  nên $\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{By}\text{'}}=90°$

Nên $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{AB}}=\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{By}\text{'}}=90°$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó $\mathrm{xx}\text{'}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{yy}\text{'}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)