Lý thuyết Hình hộp chữ nhật và hình lập phương (Kết nối tri thức 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật, 8 đỉnh, 12 cạnh, 4 đường chéo, các cạnh bên song song và bằng nhau.

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình vuông.

Ví dụ: Kể tên các đỉnh, cạnh, đường chéo, mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ nhật ABCD.GHIK và hình lập phương MNPQ.EORF (hình vẽ).

Hướng dẫn giải

a) Hình hộp chữ nhật:

- Hình hộp chữ nhật ABCD.GHIK có:

+) 8 đỉnh là A, B, C, D, G, H, I, K;

+) 12 cạnh là AB, BC, CD, DA, GH, HI, IK, KG, AG, BH, CI, DK;

+) 4 đường chéo là AI, BK, CG, DH;

+) 4 mặt bên là ABHG, BHIC, CIKD, ADKG và 2 mặt đáy là ABCD, GHIK. Các mặt bên và mặt đáy là các hình chữ nhật.

b) Hình lập phương:

- Hình lập phương MNPQ.EORF có :

+) 8 đỉnh là M, N, P, Q, E, O, R, F;

+) 12 cạnh là MN, NP, PQ, QM, EO, OR, RF, FE, ME, NO, PR, QF;

+) 4 đường chéo là MR, NF, PE, QO;

+) 4 mặt bên là MNOE, NORP, PRFQ, MEFQ và 2 mặt đáy là MNPQ, EORF. Các mặt bên và mặt đáy là các hình vuông.

Ví dụ: Trong các hình sau hình nào là hình hộp chữ nhật, hình lập phương ?

Hướng dẫn giải

- Hình a) có 6 mặt đều là hình vuông cạnh 3 cm nên hình a) là hình lập phương.

- Hình b) có 2 mặt đáy, 4 mặt bên đều là hình chữ nhật và hình b) có ba kích thước khác nhau (1 cm, 2 cm, 4 cm) nên hình b) là hình hộp chữ nhật.

- Quan sát hình c) ta thấy mặt đáy là tứ giác có độ dài bốn cạnh là 2 cm, 3 cm, 3 cm và 4 cm. Do đó mặt đáy không phải là hình vuông hay hình chữ nhật,

Vậy hình c) không phải hình hộp chữ nhật, cũng không phải hình lập phương.

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Chú ý: Khi tính diện tích, thể tích của một hình, các kích thước của nó phải cùng đơn vị độ dài.

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật có độ dài hai cạnh của đáy là 20 cm, 35 cm và chiều cao bằng tổng hai cạnh đáy. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật trên.

Hướng dẫn giải

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: 20 + 35 = 55 (cm).

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq = 2 . (20 + 35).55 = 6 050 (cm2).

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

V = 20 . 35 . 55 = 38 500 (cm3).

Vậy diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật lần lượt là 6 050 cm2 và 38 500 cm3.

Ví dụ: Một thùng đựng đồ đa năng (không có nắp) có dạng hình lập phương cạnh 40 cm với khung bằng thép, đáy và các mặt bên được bọc bằng vải. Coi phần các mép vải khâu nổi không đáng kể. Tính diện tích vải để làm cái thùng đựng đồ đa năng đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình lập phương là:

Sxq = 4. 402 = 6 400 (cm2).

Diện tích đáy của hình lập phương là:

Sđáy = 402 = 1 600 (cm2).

Diện tích vải cần dùng để làm cái thùng là:

6 400 + 1 600 = 8 000 (cm2)

Vậy cần 8 000 cm2 vải để may một thùng đựng đồ đa năng đó.

Ví dụ: Hai chiếc khay đá gồm 15 hình lập phương nhỏ cạnh 3,5 cm (hình vẽ).

Hỏi tổng thể tích toàn bộ các viên đá lạnh đựng đầy trong hai khay là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thể tích một viên đá nhỏ là:

V = 3,53 = 42,875 (cm3).

Một khay đá có 15 viên đá nhỏ nên hai khay đá có 2 . 15 = 30 viên đá nhỏ.

Thể tích của 30 viên đá trong hai khay đá đó là:

30 . 42,875= 1 286,25 (cm3).

Vậy tổng thể tích toàn bộ các viên đá lạnh đựng đầy trong hai khay là 1 286,25 cm3.

Ví dụ:Để tính thể tích một hòn đá bạn Mai làm như sau:

– Bạn ấy đã đổ nước vào một bể kính hình hộp chữ nhật có hai cạnh đáy là 15 cm và 50 cm, đo mực nước được 25 cm.

– Sau đó, bạn Mai đặt hòn đá vào bể thấy nước ngập hòn đá và mực nước lúc này là 40 cm.

Bạn Mai tính được thể tích của hòn đá bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thể tích nước trong bể kính lúc đầu là:

V = 15 . 50 . 25 = 18 750 (cm3).

Thể tích nước trong bể kính lúc sau là:

V = 15 . 50 . 40 = 30 000 (cm3).

Thể tích hòn đá là:

30 000 – 18 750 = 11 250 (cm3).

Vậy thể tích hòn đá là 11 250 cm3.

Bài tập Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Bài 1. Một hình lập phương có cạnh 5 cm. Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên ba lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần?

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Thể tích hình lập phương là:

53 = 125 (cm3).

Cạnh hình lập phương mới là:

5 . 3 = 15 (cm).

Thể tích hình lập phương mới là: 153 = 3 375 (cm3).

Thể tích hình lập phương mới tăng lên số lần là:

3375 : 125 = 27 (lần)

Vậy khi độ dài cạnh tăng lên 3 lần thì thể tích hình lập phương tăng lên 27 lần.

Cách 2:

Công thức tính thể tích của hình lập phương có cạnh là a (cm) là V = a3 (cm3).

Khi tăng độ dài cạnh hình lập phương lên 3 lần thì thể tích lúc này là:

(3a)3 = 33 . a3 = 27a3 = 27V (cm3).

Vậy khi độ dài cạnh tăng lên 3 lần thì thể tích hình lập phương tăng lên 27 lần.

Bài 2. Một hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng 1 800 cm2. Chiều dài hơn chiều cao 40 cm và chiều dài cũng gấp ba lần chiều cao. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình hộp đó.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều cao của hình hộp chữ nhật là a (cm, a > 0).

Khi đó chiều dài của hình hộp chữ nhật là 3a (cm).

Khi đó chiều dài hơn chiều cao là 3a – a = 2a (cm).

Mà theo bài chiều dài hơn chiều cao 40 cm nên ta có 2a = 40

Do đó a = 20 (cm).

Khi đó chiều cao hình hộp chữ nhật là 20 cm.

Chiều dài hình hộp chữ nhật là:

20 + 40 = 60 (cm).

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là:

1 800 : 60 = 30 (cm).

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

2 . (60 + 30) . 20 = 3 600 (cm2).

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

60 . 30 . 20 = 36 000 (cm3).

Vậy diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật lần lượt là 3 600 cm2 và 36 000 cm3.

Bài 3. Trong các đồ vật sau, đồ vật nào có dạng hình hộp chữ nhật, đồ vật nào có hình lập phương?

Lời giải

Đồ vật có dạng hình hộp chữ nhật là: quyển sách, hộp bánh quy, hộp giấy lụa.

Đồ vật có dạng hình lập phương là: Con xúc xắc, hộp quà.

Bài 4. Một bể bơi có chiều dài 20 m, chiều rộng 7 m, sâu 3 m. Hỏi người thợ phải dùng bao nhiêu viên gạch ốp lát để lát đáy và xung quanh thành bể đó? Biết rằng mỗi viên gạch có chiều dài 40 cm, rộng 25 cm và coi diện tích mạch vữa lát không đáng kể.

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy bể là:

20 . 7 = 140 (m2).

Diện tích xung quanh thành bể là:

2 . (20 + 7) . 3 = 162 (m2).

Diện tích cần lát gạch là:

140 + 162 = 302 (m2).

Diện tích một viên gạch là:

40. 25 = 1 000 (cm2) = 0,1 (m2).

Số viên gạch ốp lát cần dùng là:

302 : 0,1 = 3 020 (viên)

Vậy số viên gạch ốp tường cần dùng 3 020 viên.

Bài 5. Cho một khối bê tông kích thước như hình vẽ sau:

a) Tính thể tích của khối bê tông đó.

b) Người ta muốn sơn khối bê tông đó trừ mặt tiếp giáp với đất, tính chi phí sơn biết mỗi mét vuông tốn 50 000 đồng.

Hướng dẫn giải

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật phía dưới là:

30 + 20 = 50 (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật phía dưới là :

15 + 15 = 30 (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật phía dưới là:

50 . 30 . 20 = 30 000 (cm3).

Thể tích hình hộp chữ nhật phía trên là:

30 . 15 . 10 = 4 500 (cm3).

Thể tích của khối bê tông là:

30 000 + 4 500 = 34 500 (cm3).

Vậy thể tích khối bê tông là 34 500 cm3.

b) Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật phía dưới là:

2 . (50 + 30) . 20 = 3 200 (cm2).

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật phía trên là:

2 . (30 + 15) . 10 = 900 (cm2).

Diện tích phần tiếp giáp giữa hai hình hộp chữ nhật chính là diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật phía trên.

Do đó diện tích của các mặt nằm ngang cần sơn của khối bê tông bằng diện tích mặt đáy hình hộp chữ nhật phía dưới.

Diện tích đó là: 50 . 30 = 1 500 (cm2).

Diện tích của phần bê tông muốn sơn là:

3 200 + 900 + 1 500 = 5 600 (cm2) = 0,56 (m2).

Chi phí để sơn khối bê tông đó là:

0,56 . 50 000 = 28 000 (đồng)

Vậy muốn sơn khối bê tông cần chi phí là 28 000 đồng.