Lý thuyết Bài toán cộng hưởng

A. Lí thuyết và phương pháp giải

Hiện tượng cộng hưởng

+ Điều kiện để xảy ra cộng hưởng là: w = w₀ hoặc f = f₀ hoặc T = T₀.

+ Công thức quãng đường trong chuyển động thẳng đều: s = v.t

Bài toán dao động tắt dần

- Ta có: DW = W’ – W = A_{ma sát} trong đó: W: Cơ năng ; A_{ma sát}: Công của lực ma sát

Với:   F_ms = mN = mmg (Nếu con lắc nằm ngang)

F_ms = mN = mmg.cosa (Nếu con lắc đặt trên mặt phẳng nghiêng góc a so với phương ngang)

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Một con lắc lò xo nằm ngang, lò xo có khối lượng không đáng kể và có độ cứng $\mathrm{k}=100,0\text{\hspace{0.17em}N/m}$. Vật nhỏ m có khối lượng 0,20 kg. Tác dụng vào vật m một ngoại lực $\mathrm{F}={\mathrm{F}}_0\cos \left(2\mathrm{\pi f}\text{t}\right)$ với F₀ không đổi còn f thay đổi được và có phương trùng với trục của lò xo. Tìm f để biên độ dao động của vật m lớn nhất. Bỏ qua sức cản tác dụng lên vật.

Hướng dẫn giải

Biên độ dao động của vật m lớn nhất khi xảy ra cộng hưởng:

$\mathrm{f}={\mathrm{f}}_{\mathrm{o}}=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{\frac{100}{0,2}}=3,6 \text{Hz}$

Ví dụ 2. Một con lắc lò xo treo trên trần của toa tàu ngay vị trí phía trên trục bánh xe. Biết chiều dài mỗi thanh ray là $\mathrm{L}=12\mathrm{m}$ và khi tàu chạy thẳng đều với tốc độ v = 20 m/s thì vật m gắn ở đầu dưới của lò xo dao động với biên độ lớn nhất. Tìm chu kì dao động riêng T₀ của con lắc.

Hướng dẫn giải

Hiện tượng cộng hưởng xảy ra: ${\mathrm{T}}_{\mathrm{o}}=\mathrm{T}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{v}}=0,60 \text{s}$

Ví dụ 3. Một người đi bộ mỗi bước dài $\mathrm{\Delta S}=0,4\mathrm{m}$. Người này xách một xô nước rồi bước đi đều. Biết chu kì dao động riêng của nước trong xô là 0,5 s. Người này đi với tốc độ bằng bao nhiêu thì nước trong xô sóng sánh mạnh nhất?

Hướng dẫn giải

Nước trong xô sóng sánh mạnh nhất khi xảy ra cộng hưởng, chu kì dao động riêng của nước bằng chu kì nhịp bước chân của người.

$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{\Delta S}}{\mathrm{v}}={\mathrm{T}}_{\mathrm{o}}\Rightarrow \mathrm{v}=\frac{0,4 \text{m}}{0,5 \text{s}}=0,8\text{ m/s}$

Ví dụ 4. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng $\text{m}=0,2\text{ kg}$, lò xo nhẹ có độ cứng $\text{k}=20\text{ N}/\text{m}$ dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là $\mathrm{\mu }=0,01$. Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu có độ lớn ${\mathrm{v}}_0=1\text{ m}/\text{s}$ dọc theo trục lò xo (lấy $\text{g}=10\text{ m}/{\text{s}}^2$). Tính độ lớn lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động.

Hướng dẫn giải

Độ lớn của lực đàn hồi sẽ đạt cực đại khi vật ra tới vị trí biên lần đầu tiên sau khi được truyền vận tốc ${\mathrm{v}}_0$ (vì biên độ ở các lần sau sẽ không bằng được ở lần này). Công của lực ma sát trên đoạn biên độ A đầu tiên đó bằng độ giảm cơ năng khi vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí biên: $-\mathrm{\mu }\text{mgA}=\frac{{\mathrm{kA}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{mv}}_0^2}{2}$

Thay số: $-0,01\cdot 0,2\cdot 10\mathrm{A}=\frac{20{\mathrm{A}}^2}{2}-\frac{0,2\cdot 1^2}{2}\Rightarrow 10{\mathrm{A}}^2+0,02\mathrm{A}-0,1=0$

$\Rightarrow \mathrm{A}=0,099\mathrm{m}\Rightarrow {\mathrm{F}}_{\text{dhmax }}=\mathrm{kA}=20.0,099=1,98\text{ N}$