Lý thuyết Mối liên hệ giữa điện thế và cường độ điện trường

A. Lí thuyết và phương pháp giải

Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và hiệu điện thế: $\mathrm{E}=\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{d}}$

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho 3 bản kim loại phẳng A, B, C mang điện với bản A và C tích điện âm còn bản B tích điện dương. Các bản được đặt song song nhau. Xem gần đúng điện trường giữa các bản kim loại là đều. Biết rằng khoảng cách giữa hai bản A và B là ${\mathrm{d}}_1=3\text{ cm}$ còn khoảng cách giữa hai bản B và C là ${\mathrm{d}}_2=5\text{ cm}$ như hình vẽ. Chọn gốc điện thế tại bản B. Hãy xác định điện thế tại các bản A và C nếu cường độ điện trường giữa hai bản A và B, B và C có độ lớn lần lượt là ${\mathrm{E}}_1=200\text{ V/m}$ và ${\mathrm{E}}_2=600\text{ V/m}$.

Hướng dẫn giải

Vì bản A và C tích điện âm còn bản B tích điện dương nên các vectơ cường độ điện trường ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_1$ và ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_2$ có chiều như hình bên.

Vì gốc điện thế được chọn tại bản B nên ${\mathrm{V}}_{\text{B}}=0\text{ V}$.

Điện thế tại bản A: ${\mathrm{U}}_{\text{BA}}={\mathrm{V}}_{\text{B}}-{\mathrm{V}}_{\text{A}}=0-{\mathrm{V}}_{\text{A}}={\mathrm{E}}_1{\mathrm{d}}_1=200.0,03=6\text{ V}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\text{A}}=-6\text{ V}$

Điện thế tại bản C: ${\mathrm{U}}_{\text{BC}}={\mathrm{V}}_{\text{B}}-{\mathrm{V}}_{\text{C}}=0-{\mathrm{V}}_{\text{C}}={\mathrm{E}}_2{\mathrm{d}}_2=600.0,05=30\text{ V}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\text{C}}=-30\text{ V}$

Ví dụ 2: Trong vùng không gian giữa hai tấm kim loại phẳng, tích điện trái dấu nhau và cách nhau một đoạn $\mathrm{d}=5\text{ cm}$ có một hạt bụi kim loại tích điện âm, khối lượng $\mathrm{m}=2{.10}^{-6}\text{ g}$ đang lơ lửng tại vị trí cách đều hai tấm kim loại như hình vẽ. Biết rằng hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại khi đó là $\mathrm{U}=1000\text{ V}$. Nếu hiệu điện điện thế đột ngột giảm đến giá trị ${\mathrm{U}}^{\text{'}}=850\text{ V}$, hạt bụi kim loại sẽ chuyển động về tấm nào? Sau bao lâu thì hạt bụi này chạm đến một trong hai tấm kim loại nói trên? Lấy $\mathrm{g}=9,8{\text{ m/s}}^{\text{2}}$.

Hướng dẫn giải

Khi $\mathrm{U}=1000\text{ V}$, vì hạt bụi kim loại lơ lửng nên trọng lực cân bằng với lực điện. Khi đó, bản tích điện dương sẽ ở trên và bản tích điện âm sẽ ở dưới. Ta có:

${\mathrm{F}}_{\text{d}}=\mathrm{P}\Rightarrow \left|\mathrm{q}\right|\mathrm{E}=\mathrm{mg}\Rightarrow \left|\mathrm{q}\right|=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{mgd}}{\mathrm{U}}=\frac{\left(2\cdot {10}^{-9}\right)\cdot 9,8\cdot \left(5\cdot {10}^{-2}\right)}{1000}=9,8\cdot {10}^{-13}\text{C}$

Khi hiệu điện thế giảm đến ${\mathrm{U}}^{\text{'}}=850\text{ V}$, vì lực điện giảm so với ban đầu nên hạt sẽ rơi xuống bản âm với gia tốc:

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{P}-{\mathrm{F}}_{\text{a}}^{\text{'}}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{mg}-\left|\mathrm{q}\right|\frac{{\mathrm{U}}^{\text{'}}}{\mathrm{d}}}{\mathrm{m}}=\frac{\left(2\cdot {10}^{-9}\right)\cdot 9,8-9,8\cdot {10}^{-13}\cdot \frac{850}{5\cdot {10}^{-2}}}{2\cdot {10}^{-9}}=1,47{\text{ m/s}}^{\text{2}}$

Thời gian hạt bụi kim loại chuyển động đến khi gặp bản âm là:

$\mathrm{t}=\sqrt{\frac{2\mathrm{s}}{\mathrm{a}}}=\sqrt{\frac{2\cdot \left(2,5\cdot {10}^{-2}\right)}{1,47}}=\frac{\sqrt{15}}{21}\approx 0,18\text{ s}$

Ví dụ 3: Ống tia âm cực (CRT) là một thiết bị thường được thấy trong dao động kí điện tử cũng như màn hình ti vi, máy tính (CRT),... Hình vẽ cho thấy mô hình của một ống tia âm cực, bao gồm hai bản kim loại phẳng có chiều dài 8 cm, tích điện trái dấu, đặt song song và cách nhau 2 cm. Hiệu điện thế giữa hai bản kim loại là $\mathrm{U}=12\text{ V}$. Một electron được phóng ra từ điểm A (cách đều hai bản kim loại) với vận tốc ban đầu có độ lớn ${\mathrm{v}}_0=7{.10}^6\text{ m}/\text{s}$ và hướng dọc theo trục của ống. Cho rằng bản kim loại bên dưới có điện thế lớn hơn. Xem tác dụng của trọng lực là không đáng kể. Lấy khối lượng của electron là 9,1.10^-31 kg. Xác định tốc độ của electron khi vừa ra khỏi vùng không gian giữa hai bản kim loại.

Hướng dẫn giải

Cường độ điện trường giữa hai bản kim loại: $\mathrm{E}=\frac{\mathrm{U}}{\mathrm{d}}=\frac{12}{2\cdot {10}^{-2}}=600\text{ V/m}$.

Vì lực điện hướng thẳng đứng xuống dưới nên độ lớn gia tốc trên phương thẳng đứng của electron là: ${\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}=\frac{\left|\mathrm{q}\right|\mathrm{E}}{\mathrm{m}}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\cdot 600}{9,1\cdot {10}^{-31}}\approx 1,05\cdot {10}^{14} {\text{m/s}}^{\text{2}}$

Thời gian để electron ra khỏi vùng không gian giữa hai bản kim loại là:

$\mathrm{t}=\frac{\mathcal{l}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}}=\frac{8\cdot {10}^{-2}}{7{.10}^6}\approx 11,43\cdot {10}^{-9}\text{ s}$

với $\mathcal{l}=8\text{ cm}$ là chiều dài bản kim loại phẳng.

Thành phần vận tốc của hạt theo phương thẳng đứng khi hạt vừa ra khỏi vùng không gian giữa hai bản kim loại:

${\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}\mathrm{t}=\left(1,05\cdot {10}^{14}\right)\cdot \left(11,43\cdot {10}^{-9}\right)\approx 1,2\cdot {10}^6\text{ m/s}$

Tốc độ của electron khi vừa ra khỏi vùng không gian giữa hai bản kim loại:

$\mathrm{v}=\sqrt{{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{{\left(7{.10}^6\right)}^2+{\left(1{,2.10}^6\right)}^2}\approx 7{,1.10}^6\text{ m/s}$

Ví dụ 4: Xét một vùng không gian có điện trường đều, cho 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều có độ dài các cạnh $\text{a}=6\text{ cm},$ AB song song với các đường sức điện như hình vẽ. Biết cường độ điện trường có độ lớn $\mathrm{E}=1000\text{ V/m}$.

a) Tính các hiệu điện thế U_AB, U_BC, U_CA.

b) Tính công của lực điện trường khi một proton chuyển động từ C đến B. Lấy điện tích của proton là $\mathrm{q}=1{,6.10}^{-19}\text{C}$.

Hướng dẫn giải

a) ${\mathrm{U}}_{\text{AB}}=\mathrm{E}.\mathrm{AB}.\cos 0°=1000.\left(6{.10}^{-2}\right)=60\text{ V}$

${\mathrm{U}}_{\text{BC}}=\mathrm{E}.\mathrm{BC}.\text{cos12}0°=-1000.\left(6{.10}^{-2}\right).0,5=-30\text{ V}$

${\mathrm{U}}_{\text{CA}}=\mathrm{E}.\mathrm{CA}.\text{cos12}0°=-1000.\left(6{.10}^{-2}\right).0,5=-30\text{ V}$

b) Công của lực điện trường khi một proton chuyển động từ C đến B:

${\mathrm{A}}_{\text{CB}}={\mathrm{qU}}_{\text{CB}}=\left(1{,6.10}^{-19}\right).30=4{,8.10}^{-18}\text{ J}$