Lý thuyết Bài toán liên quan đến cực đại - cực tiểu trong giao thoa sóng cơ

A. Lí thuyết và phương pháp giải

- Những điểm dao động với biên độ cực đại: d₂ – d₁ = kλ với $\mathrm{k}=0,\pm 1,\pm 2,...$

- Những điểm dao động với biên độ cực tiểu: d₂ – d₁ = (k +$\frac{1}{2}$)λ với $\mathrm{k}=0,\pm 1,\pm 2,...$

Tìm số điểm cực đại, cực tiểu

- Trên đoạn S₁S₂: $-{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2<{\mathrm{d}}_2-{\mathrm{d}}_1<{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$

+ Số cực đại: $-\frac{{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2}{\mathrm{\lambda }}<\mathrm{k}<\frac{{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2}{\mathrm{\lambda }}$ hay ${\mathrm{N}}_{\max }=2\left[\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{\lambda }}\right]+1$

+ Số cực tiểu : $-\frac{{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2}{\mathrm{\lambda }}-\frac{1}{2}<\mathrm{k}<\frac{{\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2}{\mathrm{\lambda }}-\frac{1}{2}$ hay ${\mathrm{N}}_{\min }=2\left[\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{\lambda }}+0,5\right]$

 - Trên đoạn MN bất kì: ${\mathrm{d}}_{2\mathrm{M}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{M}}\le {\mathrm{d}}_2-{\mathrm{d}}_1\le {\mathrm{d}}_{2\mathrm{N}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{N}}$

+ Số cực đại: $\frac{{\mathrm{d}}_{2\mathrm{M}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{M}}}{\mathrm{\lambda }}\le \mathrm{k}\le \frac{{\mathrm{d}}_{2\mathrm{N}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{N}}}{\mathrm{\lambda }}$

+ Số cực tiểu: $\frac{{\mathrm{d}}_{2\mathrm{M}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{M}}}{\mathrm{\lambda }}-\frac{1}{2}\le \mathrm{k}\le \frac{{\mathrm{d}}_{2\mathrm{N}}-{\mathrm{d}}_{1\mathrm{N}}}{\mathrm{\lambda }}-\frac{1}{2}$

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Trong hiện tượng giao thoa sóng nước do hai nguồn kết hợp A và B dao động cùng pha tạo ra, trên cùng một dãy gồm những điểm dao động với biên độ cực đại, xét điểm M cách A và B các khoảng bằng 21 cm; 19 cm và điểm N cách A một khoảng 24 cm. Tính khoảng cách từ N đến B.

Hướng dẫn giải

Ta có điều kiện cực đại giao thoa: $\text{MA}-\text{MB}=\mathrm{k\lambda }=\text{NA}-\text{NB}$. (do M và N thuộc dùng một dãy). Suy ra: $\text{NB}=\mathrm{NA}-\left(\mathrm{MA}-\mathrm{MB}\right)=24-2=22\text{ cm}$.

Ví dụ 2: Trong hiện tượng giao thoa sóng trên mặt nước do hai nguồn kết hợp A và B cùng pha, cùng tần số bằng 24 Hz gây ra. Tại một điểm M trong vùng giao thoa trên mặt nước, ta quan sát thấy sóng có biên độ cực đại và là dãy cực đại thứ ba kể từ cực đại trung tâm. Phải thay đổi tần số sóng bằng bao nhiêu để tại M có

a) dãy cực đại bậc bốn kể từ cực đại trung tâm?

b) dãy đứng yên thứ ba kể từ cực đại trung tâm?

Lưu ý: Bài tập này có thể giải mà không cần dữ liệu về giá trị của tốc độ truyền sóng.

Hướng dẫn giải

a) Để thay đổi từ dãy cực đại bậc ba thành dãy cực đại bậc bốn kể từ đường trung trực của AB thì $\text{MA}-\text{MB}=3{\mathrm{\lambda }}_1=4{\mathrm{\lambda }}_2\Rightarrow 3\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{f}}_1}=4\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{f}}_2}$.

Từ đó suy ra: ${\mathrm{f}}_2=\frac{4}{3}{\mathrm{f}}_1=32\text{ Hz}$.

b) Để thay đổi từ dãy cực đại bậc ba thành dãy đứng yên thứ ba kể từ đường trung trực của AB thì $\text{MA}-\text{MB}=3{\mathrm{\lambda }}_1=2,5{\mathrm{\lambda }}_2\Rightarrow 3\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{f}}_1}=2,5\frac{\mathrm{v}}{{\mathrm{f}}_3}$.

Từ đó suy ra: ${\mathrm{f}}_3=\frac{2,5}{3}{\mathrm{f}}_1=20\text{ Hz}$.

Ví dụ 3: Trong thí nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước với hai nguồn kết hợp A và B dao động cùng pha, tốc độ truyền sóng là 0,5 m/s, tần số sóng là 25 Hz.

a) Trong vùng không gian giữa hai nguồn, có bao nhiêu dãy gồm những điểm dao động với biên độ cực đại và bao nhiêu dãy gồm những điểm đứng yên? Cho biết hai nguồn cách nhau 13 cm.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp trên đoạn AB dao động với biên độ cực đại và khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp đứng yên.

c) Khoảng cách giữa một điểm dao động với biên độ cực đại và một điểm đứng yên kế cận trên đoạn AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\mathrm{\lambda }=\frac{50}{25}=2,0\text{ cm}$.

Gọi M là một điểm dao động với biên độ cực đại nằm trên AB:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\text{MA}-\text{MB}=\mathrm{k\lambda }\\ \text{MA}+\text{MB}=\text{AB}\end{array}\Rightarrow \text{MA}=\frac{\mathrm{k\lambda }}{2}+\frac{\text{AB}}{2}\right.$.

Vì:$0<\text{MA}<\text{AB}\Rightarrow -\frac{\text{AB}}{\mathrm{\lambda }}<\mathrm{k}<\frac{\text{AB}}{\mathrm{\lambda }}\Rightarrow -6,5<\mathrm{k}<6,5$ $\Rightarrow \mathrm{k}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6$.

Có 13 dãy gồm những điểm dao động với biên độ cực đại.

Tương tự, với những điểm đứng yên: $-7<\mathrm{k}<6\Rightarrow \mathrm{k}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,-6$ nên có 12 dãy gồm những điểm đứng yên.

b) Gọi M₁ và M₂ là hai điểm liên tiếp trên AB dao động với biên độ cực đại, với ${\mathrm{M}}_1\mathrm{A}>{\mathrm{M}}_2\mathrm{A}$:

${\text{M}}_1\text{A}-{\text{M}}_2\text{A}=\mathrm{k}\frac{\mathrm{\lambda }}{2}+\frac{\text{AB}}{2}-\left(\left(\mathrm{k}-1\right)\frac{\mathrm{\lambda }}{2}+\frac{\text{AB}}{2}\right)=\frac{\mathrm{\lambda }}{2}=1,0\text{ cm}.$

Tương tự, khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp đứng yên trên AB cũng bằng $1,0\text{ cm}$.

c) Khoảng cách giữa một điểm dao động với biên độ cực đại và một điểm đứng yên kế cận là $\frac{\mathrm{\lambda }}{4}=0,50\text{ cm}$.

Ví dụ 4. Trên mặt thoáng của chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau 18 cm, dao động cùng pha theo phương thẳng đứng với tần số $\mathrm{f}=10\mathrm{Hz}$. Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 50 cm/s.

a) Ta có thể quan sát thấy bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB?

b) Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB cũng là số vân cực đại trong vùng giao thoa sóng của hai nguồn. Xác định số vân cực tiểu trong vùng giao thoa sóng của hai nguồn trên.

Hướng dẫn giải

a) Bước sóng: $\mathrm{\lambda }=\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{f}}=\frac{50}{10}=5\mathrm{cm}$

Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB là:

${\mathrm{N}}_{\max }=2\left[\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{\lambda }}\right]+1=2\left[\frac{18}{5}\right]+1=3.2+1=7$ điểm

b) Số vân cực tiểu trong vùng giao thoa bằng số điểm dao động với biên độ cực tiểu và bằng: ${\mathrm{N}}_{\min }=2\left[\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{\lambda }}+0,5\right]=4.2=8$ vân.