Lý thuyết Bài toán thời gian – quãng đường

Bài toán 1. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ x₁ đến x₂

A. Lí thuyết và phương pháp giải

Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x₁ sang vị trí x₂: $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\omega }}=\frac{\mathrm{\alpha }}{2\mathrm{\pi }}\mathrm{T}$

Cách tìm thời gian và quãng đường nhanh bằng trục thời gian:

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình $\mathrm{x}=10\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\mathrm{t}-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)\mathrm{cm}$. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật di chuyển trong từng trường hợp sau:

a. Từ vị trí cân bằng đến điểm có li độ x = 5cm.

b. Từ vị trí biên dương đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\sqrt{3}\mathrm{cm}$.

c. Từ vị trí có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{2}\mathrm{cm}$ đến điểm có li độ x = 5cm.

d. Từ điểm có li độ $\mathrm{x}=-5\mathrm{cm}$ đến điểm có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{3}\mathrm{cm}$.

Hướng dẫn giải

Cách 1: dựa vào vòng tròn lượng giác

a. Khi vật đi từ vị trí cân bằng (x = 0) đến điểm có li độ$\mathrm{x}=5\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{A}}{2}$ (sẽ đi theo chiều dương nên lấy góc âm)

$\left.\begin{array}{l}{\mathrm{cos\alpha }}_1=\frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_1=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ {\mathrm{cos\alpha }}_2=\frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_2=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\left|{\mathrm{\alpha }}_1-{\mathrm{\alpha }}_2\right|=\frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(\mathrm{rad}\right)$

Þ Thời gian: $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\omega }}=\frac{\mathrm{\pi }/6}{4\mathrm{\pi }/3}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$

b. Khi vật đi từ vị trí biên dương đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\sqrt{3}\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{A}\sqrt{3}}{2}$ (sẽ đi theo chiều âm nên lấy góc dương)

$\Rightarrow \mathrm{\alpha }={\mathrm{\alpha }}_2=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(\mathrm{rad}\right)$

Þ Thời gian: $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\omega }}=\frac{\mathrm{\pi }/6}{4\mathrm{\pi }/3}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$

c. Khi vật đi từ vị trí có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{2}\mathrm{cm}=-\frac{\mathrm{A}\sqrt{2}}{2}$ ® đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{A}}{2}$(sẽ đi theo chiều dương nên lấy góc âm)

$\left.\begin{array}{l}{\mathrm{cos\alpha }}_1=\frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_1=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}=-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\\ {\mathrm{cos\alpha }}_2=\frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_2=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\left|{\mathrm{\alpha }}_1-{\mathrm{\alpha }}_2\right|=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\left(\mathrm{rad}\right)$

Þ Thời gian: $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\omega }}=\frac{5\mathrm{\pi }/12}{4\mathrm{\pi }/3}=0,3125\left(\mathrm{s}\right)$

d. Khi vật đi từ vị trí có li độ $\mathrm{x}=-5\mathrm{cm}=-\frac{\mathrm{A}}{2}$ ® đến điểm có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{3}\mathrm{cm}=-\frac{\mathrm{A}\sqrt{3}}{2}$ (sẽ đi theo chiều âm nên lấy góc dương)

$\left.\begin{array}{l}{\mathrm{cos\alpha }}_1=\frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_1=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{A}}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\\ {\mathrm{cos\alpha }}_2=\frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_2=\text{arc}\cos \frac{{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{A}}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\left|{\mathrm{\alpha }}_1-{\mathrm{\alpha }}_2\right|=\frac{\mathrm{\pi }}{6}\left(\mathrm{rad}\right)$

Þ Thời gian: $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{\omega }}=\frac{\mathrm{\pi }/6}{4\mathrm{\pi }/3}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$

Cách 2: Sử dụng trục thời gian

Từ phương trình dao động, ta có: $\mathrm{T}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\omega }}=1,5\mathrm{s}$

a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng (x = 0) đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{A}}{2}$

$\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathrm{T}}{12}=\frac{1,5}{12}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$

b. Thời gian vật đi từ vị trí biên dương (x = A) đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\sqrt{3}=\frac{\mathrm{A}\sqrt{3}}{2}$ là$\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathrm{T}}{12}=\frac{1,5}{12}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$ 

c. Thời gian vật đi từ vị trí  có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{2}\mathrm{cm}=\frac{-\mathrm{A}}{\sqrt{2}}$ đến điểm có li độ $\mathrm{x}=5\mathrm{cm}=\frac{\mathrm{A}}{2}$ là $\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathrm{T}}{8}+\frac{\mathrm{T}}{12}=0,3125\left(\mathrm{s}\right)$

d. Thời gian vật đi từ điểm  có li độ $\mathrm{x}=-5\mathrm{cm}=\frac{-\mathrm{A}}{2}$ đến điểm có li độ $\mathrm{x}=-5\sqrt{3}=\frac{-\mathrm{A}\sqrt{3}}{2}$là $\mathrm{\Delta t}=\frac{\mathrm{T}}{6}-\frac{\mathrm{T}}{12}=\frac{\mathrm{T}}{12}=0,125\left(\mathrm{s}\right)$

Bài toán 2. Tìm quãng đường dựa vào khoảng thời gian đã cho

A. Lí thuyết và phương pháp giải

* Khi thời gian t có: $\mathrm{n}=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{T}}$, n: nguyên hoặc bán nguyên

$\mathrm{S}=4\mathrm{A}.\mathrm{n}=4\mathrm{A}\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{T}}$

* Quãng đường khi t bất kì:

Phân tích t = n.T + Dt  Þ S = 4A.n + DS  (n: nguyên)

Tìm DS dựa vào thời điểm ban đầu t = 0: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0\\ \mathrm{v}={\mathrm{v}}_0\end{array}\right.$và thời điểm cuối cùng t: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\\ \mathrm{v}\end{array}\right.$ Þ DS

* Tốc độ trung bình: ${\mathrm{v}}_{\mathrm{tb}}=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}$     

* Vận tốc trung bình: ${\overline{\mathrm{v}}}_{\mathrm{tb}}=\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}{\mathrm{t}}$

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình $\mathrm{x}=10\cos \left(2\mathrm{\pi t}+\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)\left(\mathrm{cm}\right)$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 1 s đến t = 2,5 s.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình dao động, ta có: $\mathrm{T}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\omega }}=1\mathrm{s}$

Khoảng thời gian: $\mathrm{\Delta t}={\mathrm{t}}_2-{\mathrm{t}}_1=1,5\mathrm{s}\Rightarrow \mathrm{n}=\frac{\mathrm{\Delta t}}{\mathrm{T}}=1,5$(là số bán nguyên)

Þ Quãng đường vật đi được: $\mathrm{S}=1,5.4\mathrm{A}=6\mathrm{A}=60\mathrm{cm}$

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình $\mathrm{x}=4\cos \left(4\mathrm{\pi t}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$(cm). Từ thời điểm ban đầu đến thời điểm $\mathrm{t}=\frac{43}{12}\mathrm{s}$, quãng đường vật đi được là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{T}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{\omega }}=0,5\mathrm{s}$. Mặt khác $\frac{\mathrm{\Delta t}}{\mathrm{T}}=\frac{43}{6}=7+\frac{1}{6}\Rightarrow \mathrm{\Delta t}=7\mathrm{T}+\frac{\mathrm{T}}{6}.$

Do đó: $\mathrm{s}=7.4\mathrm{A}+\mathrm{\Delta s}$

Cách 1: Xác định Ds dựa vào vòng tròn:

Tại thời điểm ban đầu $\mathrm{\phi }=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\Rightarrow \mathrm{x}=2\mathrm{cm}$

Trong thời gian $\frac{\mathrm{T}}{6}$, góc quét trên vòng tròn: $\mathrm{\alpha }=\mathrm{\omega t}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{T}}.\frac{\mathrm{T}}{6}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

® Quét trên vòng tròn, ta thấy vật đến vị trí có li độ $\mathrm{x}=-2\Rightarrow \mathrm{\Delta s}=4\mathrm{cm}$.

Do đó: s = 28.4 + 4 = 116 cm .

Cách 2: Xác định Ds dựa vào trục thời gian

Tại thời điểm ban đầu $\mathrm{\phi }=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{cm}\\ \mathrm{v}<0\end{array}\right.$.

Trong thời gian $\frac{\mathrm{T}}{6}$ vật đi từ vị trí có li độ $\mathrm{x}=2\to \mathrm{x}=-2\Rightarrow \mathrm{\Delta s}=4\mathrm{cm}$.

Do đó: s = 28.4 + 4 = 116 cm .