Lý thuyết Mối quan hệ giữa động năng và thế năng

A. Lí thuyết và phương pháp giải

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc ${\mathrm{\alpha }}_{\text{max}}$. Lấy mốc cơ năng tại vị trí cân bằng. Tính li độ góc của con lắc khi nó ở vị trí có động năng bằng thế năng.

Hướng dẫn giải

Khi động năng bằng thế năng: ${\text{W}}_{\text{t}}={\text{W}}_{\text{d}}$, ta có:

$2{\text{ W}}_{\text{t}}=\text{W}\iff 2\frac{\text{mgl}{\mathrm{\alpha }}^2}{2}=\frac{\text{mgl}{\mathrm{\alpha }}_{\text{max}}^2}{2}\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\pm \frac{{\mathrm{\alpha }}_{\text{max}}\sqrt{2}}{2}$

Ví dụ 2. Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k, được treo thẳng đứng vào một giá cố định và một vật có khối lượng $\mathrm{m}=100\text{ g}$. Khi vật ở vị trí cân bằng $\text{O}$, lò xo dãn $2,5\text{ cm}$. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng $\text{O}$ một đoạn $2\text{ cm}$ rồi truyền cho nó vận tốc có độ lớn $40\sqrt{3}\text{ cm}/\text{s}$ theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ $\text{Ox}$ theo phương thẳng đứng, gốc tại $\text{O}$, chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy $\text{g}=10\text{ m}/{\text{s}}^2$. Biết chiều dài tự nhiên của của lò xo là $50\text{ cm}$.

a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động và tính cơ năng dao động của vật.

b) Xác định li độ và vận tốc của vật khi thế năng dao động bằng 1/3 động năng.

c) Tính thế năng dao động, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ $\mathrm{x}=2\sqrt{2}\text{cm}$

Hướng dẫn giải

a) Gọi $\text{Δ}{\mathrm{l}}_0$ là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng, ta có: $\text{Δ}{\mathrm{l}}_0=2,5\text{ cm}=0,025\text{ m}$.

Tại vị trí cân bằng: $\text{k}\cdot \text{Δ}{\mathrm{l}}_0=\text{mg}\Rightarrow \text{k}=\frac{\text{mg}}{\text{Δ}{\mathrm{l}}_0}=\frac{0,1\cdot 10}{0,025}=40\text{ N/ma}$.

$\mathrm{\omega }=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{40}{0,1}}=20\text{rad/s}$.

Theo đề bài, khi $\text{t}=0$ thì $\text{x}=-2\text{ cm}$ và $\text{v}=-40\sqrt{3}\text{ cm/s}$

$\Rightarrow \mathrm{A}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\frac{{\mathrm{v}}^2}{{\mathrm{\omega }}^2}}=\sqrt{{(-2)}^2+\frac{{\left(40\sqrt{3}\right)}^2}{{\left(20\right)}^2}}=4\text{ cm}$.

Vậy tại thời điểm $\mathrm{t}=0$ thì $\mathrm{x}=-2\mathrm{cm}=-\frac{\mathrm{A}}{2}$ và $\mathrm{v}<0$, nên $\mathrm{\phi }=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$, phương trình dao động là: $\mathrm{x}=4\text{cos}\left(20\mathrm{t}+\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)\left(\text{cm}\right)$

Cơ năng của dao động: $\mathrm{W}=\frac{1}{2}{\mathrm{m\omega }}^2{\mathrm{A}}^2=\frac{1}{2}\cdot 0,1{\left(20\right)}^2{(0,04)}^2=0,032\text{ J}$

b) Khi thế năng bằng $\frac{1}{3}$ động năng;

${\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\frac{1}{3}{\mathrm{W}}_{\mathrm{d}}\iff \mathrm{W}=4{\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}\iff \frac{1}{2}{\mathrm{m\omega }}^2{\mathrm{A}}^2=4\frac{1}{2}{\mathrm{m\omega }}^2{\mathrm{x}}^2$

$\Rightarrow \mathrm{x}=\pm \frac{\mathrm{A}}{2}=\pm 2\text{ cm};{\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{W}}{4}\Rightarrow {\mathrm{W}}_{\mathrm{d}}=\frac{3\mathrm{W}}{4}=\frac{3.0,032}{4}=0,024\text{ J}$

$\Rightarrow \mathrm{v}=\pm \sqrt{\frac{2{\mathrm{W}}_{\mathrm{d}}}{\mathrm{m}}}=\pm \sqrt{\frac{2\cdot 0,024}{0,1}}=\pm \frac{2\sqrt{3}}{5}\text{ m}/\text{s}.$

c) Khi $\mathrm{x}=0,02\sqrt{2}\text{ m}$, ta có thế năng:

${\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\frac{1}{2}{\mathrm{m\omega }}^2{\mathrm{x}}^2=\frac{1}{2}\cdot 0,1{\left(20\right)}^2{(0,02\sqrt{2})}^2=0,016\text{ J}.$

Động năng ${\mathrm{W}}_{\mathrm{d}}=\mathrm{W}-{\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=0,032-0,016=0,016\text{ J}$.

Vận tốc của vật khi đó: $\mathrm{v}=\pm \sqrt{\frac{2{\mathrm{W}}_{\text{đ}}}{\mathrm{m}}}=\pm \sqrt{\frac{2\cdot 0,016}{0,1}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{5}\text{ m}/\text{s}$.