Lý thuyết Xác định vị trí mà tại đó điện trường bằng không do nhiều điện tích gây ra

A. Lí thuyết và phương pháp giải

Cường độ điện trường tại một điểm bằng 0 có: $\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{{\text{E}}_1}+\overrightarrow{{\text{E}}_2}+\overrightarrow{{\text{E}}_3}+\dots \dots \overrightarrow{0}$

Xét trường hợp cường độ điện trường bằng không đó tại M do hai điện tích ${\text{q}}_1,{\text{q}}_2$ đặt tại A và B gây ra: 

$\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{{\text{E}}_1}+\overline{{\text{E}}_2}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {\overrightarrow{\text{E}}}_1=-\overrightarrow{{\text{E}}_2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\text{E}}_1={\text{E}}_2\left(1\right)\\ \overrightarrow{{\text{E}}_1}\uparrow \downarrow \overrightarrow{{\text{E}}_2}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) suy ra $\left|\frac{{\mathrm{q}}_1}{{\mathrm{q}}_2}\right|={\left(\frac{{\mathrm{r}}_1}{{\mathrm{r}}_2}\right)}^2$

Từ (2) ta xét tiếp hai trường hợp sau: 

    Trường hợp 1: ${\text{q}}_1{\text{ và q}}_2$ cùng dấu thì M nằm trong đoạn $\text{AB}:{\text{r}}_1+{\text{r}}_2=\text{AB}$

    Trường hợp 2: ${\text{q}}_1{\text{ và q}}_2$ trái dấu thì M nằm ngoài $\text{AB}:\left|{\mathrm{r}}_1-{\text{r}}_2\right|=\text{AB}$ 

B. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Đặt điện tích ${\mathrm{Q}}_1=+6\cdot {10}^{-8}\text{C}$ tại điểm A và điện tích ${\mathrm{Q}}_2=-2\cdot {10}^{-8}\text{C}$ tại điểm B cách A một khoảng bằng 3 cm. Hãy xác định những điểm mà cường độ điện trường tại đó bằng 0.

Hướng dẫn giải

Tại một điểm bất kì M trong không gian luôn tồn tại điện trường ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_1$ do điện tích Q₁ gây ra và điện trường ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_2$ do điện tích Q₂ gây ra. Để cường độ điện trường tại M bằng 0 thì: ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_1=-{\overrightarrow{\mathrm{E}}}_2$.

- Để ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_1,{\overrightarrow{\mathrm{E}}}_2$ cùng phương thì điểm M phải nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

- Để ${\overrightarrow{\mathrm{E}}}_1,{\overrightarrow{\mathrm{E}}}_2$ ngược chiều thì điểm M phải nằm ngoài đoạn thẳng AB.

- Để ${\mathrm{E}}_1={\mathrm{E}}_2\iff \frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_2^2}\iff \frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{{\mathrm{r}}_2^2}$.

Vì $\left|{\mathrm{Q}}_1\right|>\left|{\mathrm{Q}}_2\right|$ nên ${\mathrm{r}}_1>{\mathrm{r}}_2$ (tức là điểm M phải nằm phía ngoài điểm B).

Đặt $\mathrm{BM}=\mathrm{r}\left(\text{cm}\right)$, ta có $\mathrm{AM}=3+\mathrm{r}\left(\text{cm}\right)$

Và $\frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{{\mathrm{r}}_2^2}\iff \frac{6{.10}^{-8}}{{(\mathrm{r}+3)}^2}=\frac{2{.10}^{-8}}{{\mathrm{r}}^2}\iff \frac{3}{{(\mathrm{r}+3)}^2}=\frac{1}{{\mathrm{r}}^2}$

Giải ra ta được: $\mathrm{r}=\frac{3\left(1+\sqrt{3}\right)}{2}\left(\text{cm}\right)$.

Ví dụ 2. Hai điểm A và B cách nhau 6 cm. Tại A, đặt điện tích ${\mathrm{Q}}_1=+8\cdot {10}^{-10}\text{C}.$ Tại B, đặt điện tích ${\mathrm{Q}}_2=+2\cdot {10}^{-10}\text{C}.\text{ a}$ Hãy xác định những điểm mà cường độ điện trường tại đó bằng 0.

Hướng dẫn giải

Do điện tích Q₁ và Q₂ cùng dấu nên vị trí cần tìm nằm giữa A và B.

Để ${\mathrm{E}}_1={\mathrm{E}}_2\iff \frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{4{\mathrm{\pi \epsilon }}_0{\mathrm{r}}_2^2}\iff \frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{{\mathrm{r}}_2^2}$.

Đặt $\mathrm{BM}=\mathrm{r}\left(\text{cm}\right)$, ta có $\mathrm{AM}=6-\mathrm{r}\left(\text{cm}\right)$

Và $\frac{\left|{\mathrm{Q}}_1\right|}{{\mathrm{r}}_1^2}=\frac{\left|{\mathrm{Q}}_2\right|}{{\mathrm{r}}_2^2}\iff \frac{8{.10}^{-10}}{{(6-\mathrm{r})}^2}=\frac{2{.10}^{-10}}{{\mathrm{r}}^2}\iff \frac{4}{{(6-\mathrm{r})}^2}=\frac{1}{{\mathrm{r}}^2}\Rightarrow \mathrm{r}=2\mathrm{cm}=\mathrm{BM}\Rightarrow \mathrm{AM}=4\mathrm{cm}$

Vậy cường độ điện trường bằng 0 tại điểm M trong đoạn thẳng AB, với $\mathrm{MA}=4\text{ cm}$ và $\text{MB}=2\text{ cm}$.