Lý thuyết Bài toán thực tiễn có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác

* Để giải các bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Vẽ hình mô phỏng lại bài toán.

Bước 2: Xác định đường phân giác và cạnh đối diện của đường phân giác đó trong tam giác.

Bước 3: Áp dụng định lí về tính chất đường phân giác của tam giác để lập hệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 4: Thay số vào hệ thức và áp dụng tính chất của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài đoạn thẳng.

Bước 5: Kết luận.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

· Định lí (Tính chất đường phân giác của tam giác)

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc nhọn chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Trong hình vẽ trên, ta có AD là phân giác của góc BAC thì $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

· Tính chất của tỉ lệ thức: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  thì a.d = b.c và $\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{d}{b}=\frac{c}{a};\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

· Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

· Công thức tính quãng đường đi được trong chuyển động thẳng đều:

S = vt,

trong đó: v là vận tốc;

                t là thời gian để vật đi hết quãng đường;

                S là quãng đường vật đi được.

Ví dụ 1. Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D, biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn hẹn gặp nhau tại vị trí I trên hình vẽ. Quãng đường bạn Mai đi từ M tới I là MI = 1 km. Hỏi bạn Dung phải đi quãng đường từ D đến I (không đi qua bất kì điểm nào khác ngoài D và I) là bao nhiêu ki lô mét?

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài, ABCD là hình vuông nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$

Vì M là trung điểm của AB nên $AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD$  (do AB = AD).

$\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của $\widehat{MAD}$ (do AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ ),

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:

$\frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{ID}$ suy ta 1 ∙ ID = 2 ∙ 1 hay ID = 2.

Vậy bạn Dung đi quãng đường từ D đến I (không đi qua bất kì điểm nào khác ngoài D và I) là ID bằng 2 km.

Ví dụ 2. Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con sông kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$ .Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không? Biết AD = 5 m và BD = 8 m.

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$ suy ra MD là tia phân giác $\widehat{AMB}$

Xét ∆AMB có MD là tia phân giác  nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆AMB ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}=\frac{5}{8}$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B là $\frac{MA}{MB}=\frac{5}{8}$.