Lý thuyết Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tính nhanh, khai triển, rút gọn biểu thức

Để tính nhanh, rút gọn biểu thức bằng cách áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Thu gọn biểu thức (nếu có).

Bước 2. Đưa biểu thức về dạng (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  để giải toán.

Bước 3. Thực hiện các tính toán hoặc biến đổi.

Ví dụ 1.

a) Đưa biểu thức 729 – 243n + 27n² – n³ về dạng lập phương của một hiệu

b) Khai triển hằng đẳng thức (2 – 2m)³.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 729 – 243n + 27n² – n³ 

= 9³ – 3 . 9² . n + 3 . 9 . n² – n³ 

= (9 – n)³.

b) Ta có (2 – 2m)³ = 2³ – 3 . 2² . 2m + 3 . 2 . (2m)² – (2m)³ 

= 8 – 24m + 24m² – 8m³.

Ví dụ 2. Cho m = 2. Tính nhanh giá trị biểu thức X = m³ – 3m² + 3m – 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = m³ – 3m² + 3m – 1

= m³ – 3 . m² . 1 + 3m . 1² – 1³ = (m – 1)³.

Thay m = 2 vào biểu thức X, ta được:

X = (2 – 1)³ = 1³ = 1.

Vậy X = 1 khi m = 2.