Lý thuyết Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất của đường phân giác

* Để tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất đường phân giác ta làm như sau:

- Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ.

- Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó cùng với tính chất của tỉ lệ thức để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết hoặc tính tỉ số đoạn thẳng.

* Tính chất đường phân giác của tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Trong hình vẽ trên, ta có AD là phân giác của góc BAC thì $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 21 cm, AC = 28 cm. Kẻ phân giác trong AD của  (D ∈ BC). Tính độ dài BD, biết CD = 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}$ hay $\frac{21}{28}=\frac{BD}{20}$

Từ đó suy ra $BD=\frac{21.20}{28}=5$ (cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh .

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có:

+ AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có: $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ .

+ BE là đường phân giác góc B.

Do đó ta có: $\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{BA}$ .

+ CF là đường phân giác góc C.

Do đó ta có: $\frac{AF}{BF}=\frac{CA}{CB}$ .

Vậy $\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{BA}.\frac{CA}{CB}=1$ .