Lý thuyết Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

* Cách tìm điều kiện xác định của phân thức

- Bước 1: Đặt mẫu thức khác 0.

- Bước 2: Vận dụng các quy tắc chuyển vế (chuyển vế đổi dấu) để chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế.

- Bước 3: Thực hiện các phép tính toán, rồi tìm x.

* Cách tính giá trị của phân thức

• Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của một biến

- Tìm điều kiện của biến để giá trị phân thức xác định (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

- Kiểm tra xem giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện hay không.

- Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

• Tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến thỏa mãn điều kiện cho trước

- Tìm điều kiện xác định của phân thức (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

- Giải điều kiện của biến để tìm ra giá trị của biến.

- Kiểm tra biến vừa giải được với điều kiện

- Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$ ?

Hướng dẫn giải:

Phân thức $\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$xác định khi (x + 3)(x – 2) ≠ 0

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+3\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne ‐3\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Vậy phân thức $\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$ xác định khi x ≠ – 3 và x ≠ 2.

Ví dụ 2. Hãy tính giá trị của biểu thức $\frac{x^3+3x}{3x^3+x}$ với x = $\frac{‐1}{2}$?

Hướng dẫn giải:

Phân thức $\frac{x^3+3x}{3x^3+x}$ xác định khi

3$x^3$ + x ≠ 0

x(3$x^2$ + 1) ≠ 0

x ≠ 0 (vì 3$x^2$ + 1 > 0)

Với x = $\frac{‐1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Thay x = $\frac{‐1}{2}$vào biểu thức ta được: $\frac{{\left({\displaystyle \frac{‐1}{2}}\right)}^3+3x}{3.{\left({\displaystyle \frac{‐1}{2}}\right)}^3+{\displaystyle \frac{‐1}{2}}}=\frac{13}{7}$.

Ví dụ 3. Tính giá trị của phân thức A = $\frac{x-2}{x^2-5x+6}$ với điều kiện x ≠ – 2, x ≠ 3 tại

$x^2$ – 4 = 0?

Hướng dẫn giải:

Ta có: x2 – 4 = 0

$x^2$ = 4

x = 2 (loại) hoặc x = – 2 (TM)

Với x = – 2 thay vào A, ta được:

A = $\frac{‐2-2}{{\left(‐2\right)}^2-5.\left(‐2\right)+6}=\frac{‐1}{5}$.

Vậy với $x^2$ – 4 = 0 thì A = $\frac{‐1}{5}$.