Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông:

Trường hợp 1. Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

∆ABC và ∆A'B'C' có $\hat{A}=\hat{A}\text{'}=̣90°,\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$  thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Trường hợp 2. Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

∆ABC và ∆A'B'C' có $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°,\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$  thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Trường hợp 3. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

∆ABC và ∆A'B'C' có $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}=90°,\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}$  thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Kẻ các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

Chứng minh:

a) DABD ᔕ DACE;

b) DBEH ᔕ DCDH.

Hướng dẫn giải:

a) Xét DABD và DACE ta có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90°$

$\hat{A}$ : chung

Do đó, DABD ᔕ DACE (g.g).

b) Xét DBEH và DCDH ta có:

$\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90°$

$\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (2 góc đối đỉnh)

Do đó, DBEH ᔕ DCDH (g.g).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh:

a) $H{A}^2$ = HB . HC;

b) DAHN ᔕ DCHM.

Hướng dẫn giải:

a) Xét DABH và DCAH ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90°$

$\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ với góc )

Do đó, $∆ABH ᔕ ∆CAH \left(g.g\right)$ .

$\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}$

$\Rightarrow H{A}^2=HB.HC$ (đpcm).

b) Vì DABH ᔕ DCAH (cmt) nên $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$ .

+) M là trung điểm của AH nên ta có: AH = 2 . HM

+) N là trung điểm của BH nên ta có: BH = 2 . HN

Do đó, $\frac{BH}{AH}=\frac{2HN}{2HM}=\frac{HN}{HM}$. Từ đó suy ra $\frac{AH}{CH}=\frac{HN}{HM}$ .

Xét DAHN và DCHM ta có:

$\widehat{AHN}=\widehat{CHM}=90°$

$\frac{AH}{CH}=\frac{HN}{HM}$ (cmt)

Do đó, DAHN ᔕ DCHM (c.g.c).