Lý thuyết Chứng minh các hệ thức hình học

* Để chứng minh các hệ thức hình học, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

- Bước 2: Áp dụng định lí Thalès để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

- Bước 3: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức theo yêu cầu.

* Một số kiến thức cần lưu ý

Định lí Thalès:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Trên hình vẽ, ta có nếu MN // BC thì .

Tính chất của tỉ lệ thức:

Giả sử tất cả các biểu thức đều có nghĩa, ta có nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  thì:

+) ad = bc.

+) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ .

+) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d};\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ .

+) $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ .

Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$ .

Hướng dẫn giải:

Gọi E là giao điểm của AC và MN.

Trong tam giác ADC có ME // DC (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AM}{MD}=\frac{AE}{EC}$ (1).

Trong tam giác ABC có NE // AB (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{BN}{NC}=\frac{AE}{CE}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$ .

Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh $\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=1$ .

Hướng dẫn giải:

Gọi E là giao điểm của AC và MN.

Trong tam giác ADC có ME // DC (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AM}{AD}=\frac{AE}{EC}$(1)

Trong tam giác ABC có NE // AB (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{CN}{CB}=\frac{EC}{CA}$(2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được $\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=\frac{AE}{AC}+\frac{EC}{CA}=\frac{AC}{AC}=1$ .