Lý thuyết Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều

Cho hình chóp tam giác đều như hình bên dưới:

Khi đó:

*Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

Sxq = p ⋅ d,

trong đó:

+ Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều;

+ p: Nửa chu vi đáy;

+ d: Trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

*Thể tích hình chóp tam giác đều bằng $\frac{1}{3}$  tích của diện tích đáy với chiều cao của nó:

$V=\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$,

trong đó:

+ V: Thể tích hình chóp tam giác đều;

+ Sđáy: Diện tích tam giác đáy;

+ h: Chiều cao của hình chóp tam giác đều.

Ví dụ 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 10 cm, SH = 15 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p = (10 + 10 + 10) : 2 = 15 (cm).

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

Sxq = p ⋅ d = 15 ⋅ 15 = 225 (cm2).

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là 225 $c{m}^2.$

Ví dụ 2. Tính thể tích hình chóp tam giác S.ABC trong hình dưới đây, biết AC = 8 cm, SO = 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác đều ABC có CH ⊥ AB nên CH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó H là trung điểm của AB.

Suy ra AH = HB = $\frac{1}{2}AB$ =$\frac{1}{2}AC=$ 4 cm.

Tam giác AHC vuông tại H nên AH2 + HC2 = AC2 (Định lí Pythagore).

Suy ra $4^2$ + $H{C}^2$ = $8^2$

$H{C}^2$ = $8^2$ – $4^2$

$H{C}^2$ = 48

HC = $\sqrt{48}\approx 6,93$  (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AB.HC$ ≈ $\frac{1}{2}.8.6,93=27,72$ ($c{m}^2$).

Thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC là:

$V=\frac{1}{3}.S.h\approx \frac{1}{3}.27,72.10=92,4$ ($c{m}^3$).

Vậy thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC xấp xỉ bằng 92,4 $c{m}^3$.