Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

 + Vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

+ Ta có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm sao cho từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

Chú ý:

• Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.

• Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).

• Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.

• Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 3x + xy – 3y.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: $x^2$ – 3x + xy – 3y = ($x^2$ – 3x) + (xy – 3y)

                                         = x(x – 3) + y(x – 3)

                                         = (x – 3)(x + y)

Cách 2: $x^2$ – 3x + xy – 3y = ($x^2$ + xy) + (– 3x – 3y)

                                         = x(x + y) – 3(x + y)

                                         = (x + y)(x – 3)

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $3x^2$ + 6xy + $3y^2$ – $3z^2$;

b) $x^3$ – x + 3$x^2$y + 3x$y^2$ + $y^3$ – y.

Hướng dẫn giải:

a) $3x^2$ + $3y^2$ – $3z^2$ + 6xy

= 3($x^2$ + $y^2$ – $z^2$ + 2xy)

= 3[($x^2$ + 2xy + $y^2$) – $z^2$]

= 3[${\left(x+y\right)}^2$ – $z^2$]

= 3(x + y – z)(x + y + z).

b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + (– x – y)

= (x + y)3 – (x + y) = (x + y)[(x + y)2 – 1]

= (x + y)(x + y – 1)(x + y +1).