Lý thuyết Sử dụng định lí Pythagore chứng minh tam giác vuông

a) Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

b) Định lí Pythagore đảo

Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

$∆ABC,\hat{A}=90°\Rightarrow B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ $\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại A.

→ Để chứng minh một tam giác khi biết độ dài ba cạnh là tam giác vuông, ta sử dụng định lí Pythagore đảo. Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng các bình phương của hai cạnh còn lại.

Ví dụ 1. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

a) 4 cm; 7 cm; 6 cm.

b) 6 cm; 8 cm; 10 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

42 + 62 = 52

72 = 49

Do đó, 42 + 62 ≠ 72.

Vậy tam giác có độ dài ba cạnh 4 cm, 7 cm, 6 cm không phải là tam giác vuông (định lí Pytagore đảo).

b) Ta có:

$6^2$ + $8^2$ = 100

${10}^2$= 100

Do đó, $6^2$ + $8^2$ = ${10}^2$

Vậy tam giác có độ dài ba cạnh 6 cm, 8 cm, 10 cm không phải là tam giác vuông (định lí Pytagore đảo).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Biết AH = 6 cm; BH = 4,5 cm; HC = 8 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

*) Xét tam giác ABH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=6^2+4,5^2=\frac{225}{4}$

$\Rightarrow AB=7,5 cm$

*) Xét tam giác ACH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$

$\Rightarrow A{C}^2=6^2+8^2=100$

$\Rightarrow AC=10 cm$

*) BC = BH + HC = 4,5 cm + 8 cm = 12,5 cm

Ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=7,5^2+{10}^2=156,25$

$B{C}^2=12,5^2=156,25$

$\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$∆ABC$ vuông tại A (định lí Pythagore đảo).