Lý thuyết Chứng minh các yếu tố hình học liên quan

* Sử dụng các tính chất đường trung bình để chứng minh các yếu tố hình học liên quan.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Trong hình vẽ, ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, khi đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

- Tính chất của đường trung bình:

+ Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

(Trong hình vẽ trên, MN là đường trung bình của tam giác ABC thì ta có MN // BC và MN = $\frac{1}{2}BC$ ).

+ Trong một tam giác nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có CM là đường trung tuyến. N là trung điểm BC. Chứng minh MN ⊥ BC.

Hướng dẫn giải:

Có CM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của AB.

Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mà AC ⊥ BC (tam giác ABC vuông tại C) nên MN ⊥ BC.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của BA lấy điểm N sao cho BN = AB. Gọi I là giao điểm MN và AC. Chứng minh AI = 2IC.

Hướng dẫn giải:

Gọi K là trung điểm của AI.

Vì N thuộc tia đối của tia BA thỏa mãn BN = AB nên B là trung điểm của AN.

Trong tam giác AIN có K là trung điểm của AI, B là trung điểm của AN.

Do đó BK là đường trung bình của tam giác AIN.

Suy ra, BK // NI hay BK // IM (M ∈ NI) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác CKB có M là trung điểm của BC và MI // BK, I ∈ KC.

Do đó I là trung điểm của KC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra IC = KI.

Vì 2KI = AI nên 2IC = AI.