Lý thuyết Nhận biết hai hình đồng dạng, hai hình đồng dạng phối cảnh

a) Hình đồng dạng phối cảnh

Hình 1

Quan sát Hình 1, ta thấy: Từ điểm O, “phóng to” hai lần tam giác ABC, ta sẽ nhận được tam giác A'B'C'. Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với tam giác ABC, điểm O gọi là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=2$  gọi là tỉ số vị tự.

Hình 2

Quan sát hình 2, ta thấy: Từ điểm O, “thu nhỏ” hai lần tứ giác ABCD, ta sẽ nhận được tứ giác A'B'C'D'. Tứ giác A'B'C'D' gọi là đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với tứ giác ABCD, điểm O gọi là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{1}{2}$  gọi là tỉ số vị tự.

Tổng quát:

*) Cho H' là hình đồng dạng phối cảnh của H (tâm O) theo tỉ số k.

+ Khi k > 1, H' là hình “phóng to” của hình H theo tỉ số k.

+ Khi 0 < k < 1, H' là hình “thu nhỏ” của hình H theo tỉ số k.

*) Hình đồng dạng phối cảnh tỉ số k của đoạn thẳng AB là một đoạn thẳng A'B' (nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng AB) và A'B' = k.AB.

b) Hai hình đồng dạng

- Nếu có thể đặt hình H chồng khít lên hình H' thì ta nói hai hình H và H' là bằng nhau (hay còn gọi là hình H bằng hình H').

- Hình H' đồng dạng với hình H nếu hình H' bằng một hình nào đó đồng dạng phối cảnh với hình H.

c) Phương pháp giải

*) Để nhận dạng hai hình đồng dạng phối cảnh, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Xác định các cặp đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Bước 2: Xét tỉ số các cặp đoạn thẳng tương ứng xem bằng nhau hay không bằng nhau.

Bước 3: Kết luận các cặp hình đồng dạng phối cảnh.

*) Để chứng minh Hình H' đồng dạng với hình H, ta chứng minh hình H' bằng một hình nào đó đồng dạng phối cảnh với hình H.

Ví dụ 1. Cho hình vẽ:

Biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD'. Cho biết hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có đồng dạng phối cảnh hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

Hướng dẫn giải:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

+) Bốn đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua điểm O;

+) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD' nên ta có $\frac{OA\text{'}}{OA}=\frac{OB\text{'}}{OB}=\frac{OC\text{'}}{OC}=\frac{OD\text{'}}{OD}$ ;

$\Rightarrow$ Hình chữ nhật A'B'C'D' và hình chữ nhật ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Ví dụ 2. Cho hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD sao cho . Hỏi hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD có đồng dạng hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Trên tia AD ta lấy điểm D'' sao cho AD'' = A'D'. Qua D'' kẻ đường thẳng song song với DC, cắt tia AC tại C''. Qua C'' kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia AB tại B''.

Ta thấy tứ giác AB''C''D'' là hình chữ nhật và hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.  (1)

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác ACD với C''D'' // CD, ta có:

$\frac{AC\text{'}\text{'}}{AC}=\frac{AD\text{'}\text{'}}{AD}$.

Do đó, $\frac{AB\text{'}\text{'}}{AB}=\frac{AD\text{'}\text{'}}{AD}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{AD}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}$ .

Suy ra, AB'' = A'B'.

Vì AB'' = A'B' và AD'' = A'D' nên hình chữ nhật AB''C''D'' bằng hình chữ nhật A'B'C'D' (2).

Từ (1) và (2) suy ra hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD đồng dạng.