Lý thuyết Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta làm theo các bước như sau:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Chú ý:

- Nếu $a⋮b$ thì BCNN (a, b) = a.

- BCNN (a, 1) = a; BCNN (a, b, 1) = BCNN (a, b).

Ví dụ 1. Tìm BCNN của:

a) 1 và 7;

b) 14 và 42;

c) 25 và 65;

d) 4; 18 và 24.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: BCNN (1, 7) = 7

b) Ta có: $42⋮14$

Vậy BCNN (14, 42) = 42.

c) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$25=5^2$

65 = 5.13

Thừa số chung là 5; thừa số riêng là 13.

Số mũ lớn nhất của 5 là 2, số mũ lớn nhất của 13 là 1.

Vậy BCNN (25, 65) = $5^2.13$ = 325.

d) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$4=2^2$

$18=2.3^2$

$24= 2^3.3$

Thừa số chung là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3 là 2.

Vậy BCNN (4, 18, 24) = $2^3.3^2$ = 72.

Ví dụ 2. Tìm:

a) Số tự nhiên a bé nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 6 và 22;

b) Số tự nhiên b bé nhất khác 0 biết rằng b chia hết cho 8; 9 và 12.

Hướng dẫn giải:

a) Theo đề bài, a phải là BCNN (6, 22).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

6 = 2.3

22 = 2.11

Vậy BCNN (6, 22) = 2.3.11 = 66. Vậy a = 66.

b) Theo đề bài, b phải là BCNN (8, 9, 12).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$8=2^3$

$9=3^2$

$12=2^2.3$

Vậy BCNN (8, 9, 12) = $2^3.3^2$ = 72. Vậy b = 72.

Ví dụ 3. Hai bạn Nam và Hải học cùng trường nhưng ở hai lớp khác nhau. Nam cứ 18 ngày lại trực nhật, Hải cứ 21 ngày lại trực nhật. Biết lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng trực nhật?

Hướng dẫn giải:

Vì hai bạn cùng bắt đầu trực nhật vào một ngày nên số ngày hai bạn lại cùng trực là bội chung của 18 và 21.

Vậy số ngày ít nhất hai bạn lại cùng trực nhật là BCNN (18, 21).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$18=2.3^2$

21 = 3.7

Vậy BCNN (18, 21) = $2. 3^2. 7$= 126.

Vậy sau ít nhất 126 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.