Lý thuyết Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số
Để xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số, ta làm như sau:
a) Biến đổi, nhóm các hạng tử thích hợp để tìm ra nhân tử chung.
b) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng:
|
Tổng – Hiệu |
Tính chất chia hết |
Tính chất không chia hết |
|
|
|
|
|
|
|
Ví dụ 1. Cho A = 2 + 22 + 23 + 24. Hỏi A có chia hết cho 3 không?
Hướng dẫn giải:
A = 2 + 22 + 23 + 24
= (2 + 22) + (23 + 24)
= 2. (1 + 2) + 23. (1 + 2)
= 2.3 + 23.3
= 3. (2 + 23)
Vì 33 nên 3. (2 + 23)3
Vậy A = 2 + 22 + 23 + 24 chia hết cho 3.
Ví dụ 2. Cho B = 2 + 23 + 25 + 27 + … + 299. Chứng minh rằng B chia hết cho 10.
Hướng dẫn giải:
B = 2 + 23 + 25 + 27 + … + 299
= 2. (1 + 22 + 24 + 26 + … + 298)
Vì 2. (1 + 22 + 24 + 26 + … + 298) chia hết cho 2 nên B chia hết cho 2
B = 2 + 23 + 25 + 27 + … + 299
= (2 + 23) + (25 + 27) + … + (297 + 299)
= 2. (1 + 22) + 25. (1 + 22) + … + 297. (1 + 22)
= 2.5 + 25.5 + … + 297.5
= 5. (2 + 25 + … + 297)
Vì 55 nên 5. (2 + 25 + … + 297)5
Do đó B chia hết cho 5
B chia hết cho cả 2 và 5 nên B chia hết cho 10.
Ví dụ 3. Số dư của phép chia A = 2 + 22 + 23 + … + 260 cho 3 là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
A = 2 + 22 + 23 + … + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + … + (259 + 260)
= 2. (1 + 2) + 23. (1 + 2) + … + 259. (1 + 2)
= 2.3 + 23.3 + … + 259.3
= 3. (2 + 23 + … + 259)
Vì 33 nên 3. (2 + 23 + … + 259)3
Suy ra A = 2 + 22 + 23 + 24 chia hết cho 3.
Vậy số dư của phép chia A = 2 + 22 + 23 + … + 260 cho 3 là 0.