Lý thuyết Tìm phân số tối giản

Phân số $\frac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.

Để đưa 1 phân số chưa tối giản $\frac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a, b).

Ví dụ 1.

a) Phân số $\frac{9}{55}$ đã tối giản chưa? Nếu chưa hãy rút gọn về phân số tối giản.

b) Phân số $\frac{90}{72}$ đã tối giản chưa? Nếu chưa hãy rút gọn về phân số tối giản.

c) Rút gọn phân số$\frac{176}{154}$ về phân số tối giản.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ƯCLN(9, 55) = 1 nên$\frac{9}{55}$ là phân số tối giản

b) Ta phân tích 90 và 72 ra thừa số nguyên tố:

90 = 2.3².5

72 = 2³.3²

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 90 và 72. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2 nên:

ƯCLN(90, 72) = 2.3² = 18 nên $\frac{90}{72}$ là phân số chưa tối giản.

Ta có: $\frac{90}{72}=\frac{90 :18}{72 :18}=\frac{5}{4}$.

Ta được $\frac{5}{4}$ là phân số tối giản.

c) Ta phân tích 176 và 154 ra thừa số nguyên tố:

176 = 2⁴.11

154 = 2.7.11

Ta thấy 2 và 11 là các thừa số nguyên tố chung của 176 và 154. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 11 là 1 nên:

ƯCLN(176, 154) = 2.11 = 22

Ta có: $\frac{176}{154}=\frac{176 :22}{154 :22}=\frac{8}{7}$

Ta được $\frac{8}{7}$ là phân số tối giản.

Ví dụ 2. Kiểm tra các phân số sau đã tối giản chưa: $\frac{2}{7};\frac{19}{38};\frac{5}{16};\frac{34}{51};\frac{42}{45}$

Hướng dẫn giải:

Ta thấy: 

ƯCLN(2,7) = 1 nên $\frac{2}{7}$ là phân số tối giản

ƯCLN(5, 16) = 1 nên $\frac{7}{16}$ là phân số tối giản

Do 19 và 38 cùng chia hết cho 19 nên $\frac{19}{38}$ chưa tối giản

Do 34 và 51 cùng chia hết cho 17 nên $\frac{34}{51}$ chưa tối giản

Do 42 và 45 cùng chia hết cho 3 nên$\frac{42}{45}$ chưa tối giản

Ví dụ 3.  Cho phân số sau: $\frac{84}{396}$ . Rút gọn phân số đó và tính tổng của tử số và mẫu số của phân số đã rút gọn

Hướng dẫn giải:

Ta phân tích 84 và 396 ra thừa số nguyên tố:

84 = 2².3.7

396 = 2².3².11

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 84 và 396. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(84, 396) = 2².3 = 12

Ta có: $\frac{84}{396}=\frac{84 :12}{396 :12}=\frac{7}{33}$

Ta được: $\frac{7}{33}$ là phân số tối giản

Tổng tử số và mẫu số của phân số đã rút gọn là: 7 + 33 = 40