Lý thuyết Ứng dụng ước chung và ước chung lớn nhất để giải các bài toán thực tế

Sử dụng kiến thức về ước chung và ước chung lớn nhất đã được học để giải các bài toán thực tế.

- Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1:  Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

+ Trường hợp đặc biệt:

Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1

-Các bước tìm ước chung

Để tìm ước chung của các số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm ƯCLN của các số đó.

Bước 2: Tìm các ước của các ƯCLN đó.

Ví dụ 1. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 75cm và 105cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông?

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh các mảnh của hình vuông là a (cm) (a $\in N$, a < 75)

Theo bài ra ta có: 75a, 105a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(75, 105)

Ta phân tích 75 và 105 ra thừa số nguyên tố:

75 = 3.5²

105 = 3.5.7

Ta thấy 3 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của 75 và 105. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên:

ƯCLN(75, 105) = 3.5 = 15

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của hình vuông là 15.

Ví dụ 2. Có 30 miếng dứa và 40 miếng dưa hấu. Hỏi có bao nhiêu cách chia chúng vào các cái đĩa sao cho số miếng mỗi loại trong các đĩa là như nhau?

Hướng dẫn giải:

Gọi gọi số đĩa được chia là a (đĩa) (a $\in N$, a < 30)

Theo bài ra ta có: 30a, 40a. Khi đó a $\in$ƯC(30, 40)

Ta phân tích 30 và 40 ra thừa số nguyên tổ:

30 = 2.3.5

40 = 2³.5

Ta thấy 2; 5 là thừa số nguyên tố chung của 30; 40. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ của 5 là 1 nên:

ƯCLN(30, 40) = 2.5 = 10

Các ước của 10 là: 1; 2; 5; 10.

Vậy có 4 cách chia

Ví dụ 3.  Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về 1 huyện để biểu diễn, đội đã chia các tổ gồm cả nam và nữ, biết số nam, số nữ được chia đều vào các tổ vậy có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ?

Hướng dẫn giải:

Gọi số tổ có thể chia được nhiều nhất là a (tổ) (a $\in N$, a < 48)

Theo bài ra ta có: 48a, 72a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(48, 72)

Ta phân tích 48 và 72 ra thừa số nguyên tố:

48 = 2⁴.3

72 = 2³.3²

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 48 và 72. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(48, 72) = 2³.3 = 24

Vậy có thể chia được nhiều nhất 24 tổ.