Lý thuyết Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện cho trước x. y = a với a nguyên

- Nếu x, y, a là các số nguyên và x. y = a thì x, y là ước của a.

- Tách a thành tích các ước của a.

- Từ đó tìm được cặp (x; y) thỏa mãn.

Ví dụ 1. Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (x – 3). (y + 2) = 5.

Hướng dẫn giải:

Vì $x,y\in Z$ nên $x-3$$,y+2$$\in Z$ và (x – 3). (y + 2) = 5.

Vậy $x-3, y+2\in$Ư (5).

Ta có: (x – 3).(y + 2) = 1.5 = (-1).(-5)

+) Với x – 3 = 1 và y + 2 = 5 thì x = 4 và y = 3;

+) Với x – 3 = 5 và y + 2 = 1 thì x = 8 và y = -1;

…

Ta có: Ư (5) = {-5; -1; 1; 5}.

Ta có bảng sau:

Chị thấy để bảng ở đây chưa hợp lí em nên ghi theo dòng để hs thấy được x; y đồng thời hơn. Nên trình  bày như chị trình bày ở trên.

Vậy (x; y)  {(-2; -3); (2; -7); (4; 3); (8; -1)}.

Ví dụ 2. Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (2x + 1). (y – 1) = -6.

Hướng dẫn giải:

Vì $x,y\in Z$ nên $2x+1,y-1\in Z$ và (2x + 1). (y – 1) = -6.

Vậy $2x+1,y-1\in$Ư (-6).

Ta có: Ư (-6) = {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}.

Mà 2x là số chẵn (do $2x⋮2$) nên 2x + 1 là số lẻ.

Vậy 2x + 1 nhận các giá trị là: -3; -1; 1; 3.

Ta có bảng sau:

Vậy (x; y) $\in$ {(-2; 3); (-1; 7); (0; -5); (1; -1)}.

Ví dụ 3. Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: xy + x + y = -4.

Hướng dẫn giải:

Ta có: xy + x + y            = -4

           xy + x+ y             = -3 – 1

           xy + x+ y + 1       = -3

           (xy + x) + (y + 1) = -3

           x. (y +1) + (y +1) = -3

           (y + 1). (x + 1)     = -3

Vì $x,y\in Z$ nên $x+1,y+1\in Z$ và (x + 1). (y + 1) = -3.

Vậy $x+1,y+1\in$Ư (-3).

Ta có: Ư (-3) = {-3; -1; 1; 3}.

Ta có bảng sau:

Vậy (x; y) $\in$ {(-4; 0); (-2; 2); (0; -4); (2; -2)}.