Lý thuyết Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện về tính chia hết

Sử dụng các phương pháp tìm ước và bội của một số nguyên để giải các bài toán.

Ta có thể tìm bội nguyên của một số khác 0 bằng cách nhân số đó với lần lượt 0; 1; 2; 3;...ta được các bội tự nhiên, sau đó lấy tiếp các số đối của chúng ta được tập hợp bội của số nguyên đó.

Để tìm ước của số nguyên a, ta lấy các ước dương của a cùng với các số đối của chúng, ta được tập hợp ước của số nguyên đó.

Ví dụ 1.

a) Tìm tập hợp các số nguyên x biết 5 chia hết cho x.

b) Tìm tập hợp các số nguyên x biết 6 chia hết cho x – 2.

Hướng dẫn giải:

a) 5 chia hết cho x nên x$\in$Ư(5)

Các ước dương của 5 là: 1; 5. Do đó các ước của 5 là: 1; -1; 5; -5

Nên x$\in${1; -1; 5; -5}

b) 6 chia hết cho x – 2 nên x - 2 $\in$Ư(6)

Các ước dương của 6 là: 1; 2; 3; 6. Do đó các ước của 6 là: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.

Nên x - 2 $\in${-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}

Do đó x$\in$ {-4; -1; 0; 1; 3; 4; 5; 8}

Ví dụ 2. Tìm tổng các giá trị nguyên của x thỏa mãn: 9 chia hết cho x + 4.

Hướng dẫn giải:

9 chia hết cho x + 4 nên x + 4 $\in$Ư(9)

Các ước dương của 9 là: 1; 3; 9. Do đó các ước của 9 là 1; -1; 3; -3; 9; -9.

Nên x + 4 $\in${-9; -3; -1; 1; 3; 9}

Do đó x$\in${-13; -7; -5; -3; -1; 5}

Tổng các giá trị của x là: -13 + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 5 = -24

Ví dụ 3. Tìm tập hợp các số nguyên x không nhỏ -2 và nhỏ hơn 15 biết x – 8 chia hết cho 5.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

x – 8 chia hết cho 5 nên x – 8 là bội của 5

Lần lượt nhân 5 với 0; 1; 2; 3;… ta được các bội tự nhiên của 5 là: 0; 5; 10; 15;…Do đó các bội của 5 lần lượt là: 0; 5; -5; 10; -10; 15; -15;…

x - 8 $\in${…;-25; -20;-15; -10; -5; 0; 5; 10; 15; 20; 25;…}

Do đó x$\in$ {…;-25 + 8; -20 + 8; -15 + 8; -10 + 8; -5 + 8;…}

x$\in$ {…-17; -12; -7; -2; 3; 8; 13; 18; 23; 28; 33;…}

Từ đề bài ta có: x không nhỏ -2 và x nhỏ hơn 15 nên x$\in${-2; 3; 8; 13}