Lý thuyết Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số

- Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1:  Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

- Trường hợp đặc biệt:

Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1

Ví dụ 1.

a) Tìm ƯCLN(20, 30)?

b) Tìm ƯCLN(100, 10)?

Hướng dẫn giải:

a) Phân tích 20; 30 ra thừa số nguyên tố ta được:

20 = 2².5

30 = 2.3.5

Ta thấy 2 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của 20 và 30. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên:

ƯCLN(20, 30) = 2.5 = 10

b) Vì 100 chia hết cho 10 nên ƯCLN(100, 10) = 10

Ví dụ 2. Gọi a là ước chung lớn nhất của 3 và 21, b là ước chung lớn nhất của 12 và 18. Tính a.b?

Hướng dẫn giải:

Vì 21 chia hết cho 3 nên ƯCLN(21, 3) = 3 do đó ta được a = 3

Ta phân tích 12 và 18 ra thừa số nguyên tố ta được:

12 = 2².3

18 = 2.3²

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 12 và 18. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(12, 18) = 2.3 = 6

Do đó ta được b = 6

Vậy a.b = 18.

Ví dụ 3.

a) Tìm ƯCLN của 2³.3.5; 2².3².5; 2⁴.3.5².7?

b) Tìm ƯCLN của 32.45.48; 50.56.72?

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy 2; 3; 5 là các thừa số nguyên tố chung của các số trên. Sỗ mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên:

ƯCLN(2³.3.5, 2².3².5, 2⁴.3.5².7) = 2².3.5 = 60.

b) Ta phân tích 32.45.48; 50.56.72 ra thừa số nguyên tố:

32.45.48 = 2⁵.3².5.2⁴.3 = 2⁹.3³.5

50.56.72 = 2.5².2³.7.2³.3² = 2⁷.3².5².7

Ta thấy 2; 3; 5 là các thừa số nguyên tố chung của các số trên. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 7, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên:

ƯCLN(32.45.48, 50.56.72) = 2⁷.3.5.