Lý thuyết Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi

Để làm tốt dạng bài này, ta cần nắm vững các công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và sử dụng thành thạo các góc lượng giác có liên quan đặc biệt, các hằng đẳng thức lượng giác.

Dưới đây là các công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi.

a) Công thức cộng

sin(a + b) = sina×cosb + cosa×sinb

sin(a − b) = sina×cosb − cosa×sinb

cos(a + b) = cosa×cosb – sina×sinb

cos(a − b) = cosa×cosb + sina×sinb

b) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina×cosa

cos2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

* Công thức hạ bậc

${\sin }^2 \alpha =\frac{2 \tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

${\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

*Một số công thức nâng cao (công thức nhân ba)

cos3a = 4cos³a − 3cosa

cos3a = 4cos³a − 3cosa

$\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3{\tan }^2\alpha }$

Ví dụ 1. Cho tana = 2. Tính $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$ .

Hướng dẫn giải:

Có $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{1+\tan \alpha .\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3}$ (vì tana = 2).

Vậy tana = 2 thì $\tan \left(\alpha ‐\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{3}$ .

Ví dụ 2. Cho $\cos \alpha =‐\frac{2}{3}$ . Tính cos2a.

Hướng dẫn giải:

Có cos2a = 2cos²a − 1 = $2.{\left(‐\frac{2}{3}\right)}^2-1=‐\frac{1}{9}$ .

Vậy $\cos \alpha =‐\frac{2}{3}$  thì $\cos 2\alpha =‐\frac{1}{9}$ .