Lý thuyết Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác

a) Dạng toán rút gọn

Để làm tốt dạng toán rút gọn, ta cần nắm vững các công thức lượng giác đã học (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích), các giá trị lượng giác liên quan đến góc đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác để biến đổi biểu thức ban đầu về dạng đơn giản, rút gọn hơn.

b) Dạng toán chứng minh đẳng thức lượng giác

Đối với bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác, ta có thể lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

Cách 1: Dùng các công thức lượng giác, hệ thức lượng giác biến đổi vế này thành vế kia (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái).

Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết và luôn đúng.

Cách 3: Biến đổi đẳng thức đã biết luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau $A=\frac{\cos a+2\cos 2a+3\cos 3a}{\sin a+\sin 2a+\sin 3a}$  (giả sử biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải:

$A=\frac{\cos a+2\cos 2a+3\cos 3a}{\sin a+\sin 2a+\sin 3a}$

$=\frac{\left(\cos a+\cos 3a\right)+2\cos 2a}{\left(\sin a+\sin 3a\right)+\sin 2a}$

$=\frac{2\cos 2a\cos a+2\cos 2a}{2\sin 2a\cos a+\sin 2a}$

$=\frac{2\cos 2a\left(\cos a+1\right)}{2\sin 2a\left(\cos a+1\right)}$

$=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=cot2a$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác a làm cho biểu thức xác định thì $\frac{1-\sin 2\alpha }{1+\sin 2\alpha }=co{t}^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$ .

Hướng dẫn giải: