Lý thuyết Các bài toán thực tiễn vận dụng công thức nhân xác suất

Trong thực tiễn, ta thường gặp một số tình huống cần tính xác suất như: xác suất lấy bệnh, xác suất thi đỗ một kì thi, xác suất trúng xổ số, xác suất giữ bóng trong một trận đấu của một cầu thủ bóng đá, … Để có thể giải quyết được một số tình huống thực tiễn đó, ta có thể sử dụng công thức tính xác suất sau:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau, ta có công thức nhân xác suất như sau:

P(A Ç B) = P(A).P(B).

Chú ý: Nếu A và B là hai biến cố thì P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç  B).

Ví dụ 1. Một vận động viên thi bắn súng vào bia. Biết rằng xác suất để vận động viên đó bắn trúng vòng 10 là 0,2; bắn trúng vòng 9 là 0,25 và bắn trúng vòng 8 là 0,3. Nếu bắn trúng vòng k thì được k điểm. Vận động viên thực hiện bắn hai lần. Giả sử hai lần bắn của của vận động viên là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu được 20 điểm, đạt huy chương bạc nếu được 19 điểm và đạt huy chương đồng nếu được 18 điểm. Tính xác suất để vận động viên đạt được huy chương đồng.

Hướng dẫn giải:

Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố: 'Vận động viên bắn trúng vòng 10', 'Vận động viên bắn trúng vòng 9', 'Vận động viên bắn trúng vòng 8'.

Gọi G là biến cố: 'Vận động viên đạt được huy chương đồng'; U là biến cố: 'Vận động viên hai lần bắn trúng vòng 9', V là biến cố: 'Vận động viên một lần bắn trúng vòng 10, một lần bắn trúng vòng 8'.

Ta có: G = U È V, U = BB, V = AC + CA.

P(U) = P(B).P(B) = 0,25.0,25 = 0,0625

P(V) = P(AC) + P(CA) = 0,2.0,3 + 0,3.0,2 = 0,12

Do U và V xung khắc nên P(G) = P(U) + P(V) = 0,0625 + 0,12 = 0,1825.

Ví dụ 2. Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi A là biến cố 'Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra'. Gọi B là biến cố 'Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra'.

a) Hãy tìm một biến cố xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B.

b) Tính xác suất của các biến cố A, B và AB.

Hướng dẫn giải:

a) Biến cố 'Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh' xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B.

b) $P\left(A\right)=P\left(B\right)=\frac{C_1^1{C}_5^2}{C_6^3}=0,5.$

AB là biến cố 'Lấy ra được 1 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ”.

Do đó: $P\left(AB\right)=\frac{C_4^1{C}_1^1{C}_1^1}{C_6^3}=0,2$ .