Lý thuyết Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức

Bài toán: Tính giới hạn $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ .

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n^k, với k là bậc cao nhất ở mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=\frac{0}{1}=0$  .

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=0$  .

Ví dụ 2. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}+\frac{5}{n^3}}=\frac{3}{2}$  .

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\frac{3}{2}$.