Lý thuyết Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Để tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản, ta cần nhớ các công thức đạo hàm sau:

- Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ, n > 1):  y' = (xⁿ)' = nx^{n – 1}.

- Đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$  (x > 0): y'$={\left(\sqrt{\text{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{\text{x}}}$.

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

+ Đạo hàm của hàm số y = sinx:   y' = (sinx)' = cosx.

+ Đạo hàm của hàm số y = cosx:  y' = (cosx)' = – sinx.

+ Đạo hàm của hàm số y = tanx $\left(\text{x}\ne \frac{\text{π}}{\text{2}}+\text{kπ, k}\in \mathbb{Z}\right)$ : y' = (tanx)' = $\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}$ .

+ Đạo hàm của hàm số y = cotx $\left(\text{x}\ne \text{kπ, k}\in \mathbb{Z}\right)$ : y' = (cotx)' = $-\frac{1}{{\sin }^2\text{x}}$ .

- Đạo hàm của hàm số mũ:

+ Đạo hàm của hàm số y = e^x:   y' = (e^x)' = e^x.

+ Đạo hàm của hàm số y = a^x (a > 0, a ≠ 1):  y' = (a^x)' = a^x lna.

- Đạo hàm của hàm số logarit:

+ Đạo hàm của hàm số y = ln x (x > 0):  y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$ .

+ Đạo hàm của hàm số y = log_ax (a > 0, a ≠ 1): y' = (log_ax)' = $\frac{\text{1}}{\text{x lna}}$ .

Tóm lại, ta cần ghi nhớ bảng đạo hàm cơ bản sau:

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x⁵ tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có f'(x) = (x⁵)' = 5x⁴.

f'(1) = 5 . 1⁴ = 5.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm x₀ = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có f'(x) = (sinx)' = cosx.

f'($\frac{\mathrm{\pi }}{4}$) = $\cos \frac{\text{π}}{\text{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .