Lý thuyết Biến cố hợp. Biến cố giao

Biến cố hợp: Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: 'A hoặc B xảy ra' được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là A È B.

Biến cố hợp của A và B là tập con A È B của không gian mẫu W (hình vẽ).

Biến cố giao: Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: 'Cả A và B đều xảy ra' được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu là A Ç B hoặc AB.

Biến cố giao của A và B là tập con A Ç B của không gian mẫu W (hình vẽ).

Chú ý:

⦁ Biến cố A È B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố A È B là hợp của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B.

⦁ Biến cố A Ç B xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố A Ç B là giao của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B.

⦁ Cho biến cố A, biến cố không xảy ra A được gọi là biến cố đối của A. Kí hiệu

Ví dụ 1. Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố: 'a là ước của 28', B là biến cố: 'a là ước của 70'. Xét biến cố C: 'a là ước của 14'. Chứng tỏ C là biến cố giao của A và B.

Hướng dẫn giải:

A = {1; 2; 4; 7; 14; 28}; B = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}; C = {1; 2; 7; 14}.

Ta có A Ç B = {1; 2; 7; 14}.

Vậy C là biến cố giao của A và B.

Ví dụ 2. Một chiến hạm có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Chiến hạm sẽ bị chìm khi và chỉ khi:

– Hoặc có một quả ngư lôi bắn trúng bộ phận A;

– Hoặc có hai quả ngư lôi bắn trúng bộ phận B;

– Hoặc có ba quả ngư lôi bắn trúng bộ phận C.

Giả sử có hai quả ngư lôi bắn trúng chiến hạm. Xét hai biến cố K: 'Hai quả trúng vào C' và H: 'Một quả trúng vào B, một quả trúng vào C'. Gọi M là biến cố: 'Chiến hạm không bị chìm'. Chứng tỏ rằng M là biến cố hợp của H và K.

Hướng dẫn giải:

Nếu biến cố H xảy ra thì B trúng một quả ngư lôi, C trúng một quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Nếu biến cố K xảy ra thì C trúng hai quả ngư lôi. Từ điều kiện ta thấy chiến hạm không bị chìm (biến cố M xảy ra).

Ngược lại giả sử chiến hạm không bị chìm, khi đó cả hai quả hoặc trúng vào C (biến cố K xảy ra) hoặc chỉ một quả trúng vào B và quả còn lại không trúng A , tức là trúng C (biến cố H xảy ra).

Vậy M là biến cố hợp của H và K.

Ví dụ 3. Hai xạ thủ X và Y, mỗi người bắn một viên đạn vào một mục tiêu. Xét các biến cố A: 'Xạ thủ X bắn trúng'; B: 'Xạ thủ Y bắn trúng'.

Nêu nội dung của các biến cố AB, A È B, $\overline{AB}$, $\overline{A}B$,$A\overline{B}$ , $A\overline{B}\cup \overline{A}B$ .

Hướng dẫn giải:

– AB: 'Cả hai xạ thủ X và Y bắn trúng'.

– A È B: 'Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng'.

– $\overline{AB}$ : 'Cả hai xạ thủ bắn trượt'.

– $\overline{A}B$ : 'Xạ thủ X bắn trượt và xạ thủ Y bắn trúng'.

– $A\overline{B}$ : 'Xạ thủ X bắn trúng và xạ thủ Y bắn trượt'.

– $A\overline{B}\cup \overline{A}B$ : 'Chỉ có một xạ thủ bắn trúng'.

Ví dụ 4. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

P: 'Học sinh đó bị cận thị';

Q: 'Học sinh đó học giỏi môn Toán'.

Nêu nội dung của các biến cố P È Q;  PQ và $\overline{PQ}$ .

Hướng dẫn giải:

P È Q là biến cố: 'Học sinh đó hoặc bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán'.

PQ là biến cố: 'Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán'.

$\overline{PQ}$ là biến cố: 'Học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi môn Toán'.

Ví dụ 5. Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố 'Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7'; B là biến cố 'Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố'.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố A È B và AB là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải:

a) W = {1; 2; …; 15}.

b) A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {2; 3; 5; 7; 11; 13}.

A È B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 11; 13}.

AB = A Ç B = {2; 3; 5}.