Lý thuyết Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Một số phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản:

* Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

– Dạng tổng quát: a$f^2$(x) + bf(x) + c = 0 (1) với f(x) là một hàm số lượng giác.

– Phương pháp giải:

Đặt t = f(x) và tìm điều kiện của t nếu có.

Phương trình (1) trở thành phương trình bậc 2 ẩn t. Giải phương trình tìm ẩn t, kiểm tra điều kiện, từ đó ta tìm được x.

* Phương trình bậc nhất theo sin x và cos x:

– Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (với a, b là các số thực khác 0) (2)

– Phương pháp giải:

+ Chia cả hai vế của phương trình (2) cho $\sqrt{a^2+b^2}$, phương trình (2) trở thành:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

Đặt α là góc thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Phương trình trở thành:

$\cos \alpha .\sin \alpha +\sin \alpha .\cos \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\iff \sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, ta có thể giải được.

* Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx:

– Dạng tổng quát: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

– Phương pháp giải:

+ Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

+ Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

+ Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

+ Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Chú ý: Ngoài ra còn một số dạng phương trình khác có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng…

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3${\sin }^2$x + 2sinx – 5 = 0;

b) ${\tan }^2$x – $\left(1+\sqrt{3}\right)$tanx + $\sqrt{3}$= 0.

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = sinx (–1 ≤ t ≤ 1)

Phương trình trở thành:

3t2 + 2t – 5 = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}t=1 \left(TM\right)\\ t=\frac{‐5}{3} \left(KTM\right)\end{array}\right.$

Với t = 1, ta có: sinx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi I k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

b) Đặt t = tanx

Phương trình trở thành:

$t^2$ –$\left(1+\sqrt{3}\right)$ t + $\sqrt{3}$ = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}t=1 \left(TM\right)\\ t=\sqrt{3} \left(TM\right)\end{array}\right.$

Với t = 1 ta có: tanx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ ℤ

Với t = $\sqrt{3}$ ta có: tanx = $\sqrt{3}$ ⇔ $\frac{\pi }{3}+k\pi$, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ; \frac{\pi }{3}+k\pi I k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sinx + $\sqrt{3}$cosx = 1.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0.

Hướng dẫn giải:

${\sin }^3$x + 2sinx.${\cos }^2$x + 3${\cos }^3$x = 0 (*)

Xét cosx = 0. Khi đó:

(*) ⇔ ${\sin }^3$x = 0           

⇔ sinx = 0 (vô lí do ${\sin }^2$x + ${\cos }^2$x = 0 ≠ 1)

Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế (*) cho ${\cos }^3$x. Khi đó:

(*) $\iff \frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{3}x}+\frac{2\sin x.{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}+\frac{3{\cos }^{3}x}{{\cos }^{3}x}=0$

⇔ ${\tan }^3$x + 2tanx + 3 = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}\tan x=‐1\\ {\tan }^{2}x-\tan x+3=0 \left(1\right)\end{array}\right.$

Phương trình (1) vô nghiệm.

Ta có tanx = –1 ⇔ $x=‐\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{‐\frac{\pi }{4}+k\pi I k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình: ${\cos }^2$(x – 30°) – ${\sin }^2$(x – 30°) = sin(x + 30°).

Hướng dẫn giải

${\cos }^2$(x – 30°) – sin2(x – 30°) = sin(x + 30°)

⇔ cos(2x – 60°) = sin(x + 30°)                     (công thức nhân đôi)

⇔ cos(2x – 60°) = cos(90° – x – 30°)           (hai góc phụ nhau)

⇔ cos(2x – 60°) = cos(60° – x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {40° + k120°; k360°|k ∈ ℤ}.