Lý thuyết Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng cách sử dụng công thức nhân xác suất và sơ đồ hình cây

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau, ta có công thức nhân xác suất như sau:

P(A Ç B) = P(A).P(B).

Ví dụ 1. Cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A È B) = 0,6. Hỏi A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải:

P(A Ç B) = P(A) + P(B) – P(A È B) = 0,3 ¹ P(A).P(B) = 0,2.

Vậy A và B không độc lập.

Ví dụ 2. Hai bạn An và Bình không quen biết nhau và đều học xa nhà. Xác suất để bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật là 0,2 và của bạn Bình là 0,25. Dùng sơ đồ hình cây để tính xác suất vào ngày Chủ nhật:

a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.

b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.

c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.

d) Chỉ có bạn An về thăm nhà.

e) Có đúng một bạn về thăm nhà.

Hướng dẫn giải:

Gọi A và B lần lượt là các biến cố: 'Bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật' và 'Bạn Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật'. A và B là hai biến cố độc lập.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố 'Bạn An không về thăm nhà vào ngày Chủ nhật' và $\overline{B}$ là biến cố 'Bạn Bình không về thăm nhà vào ngày Chủ nhật'.

Ta có sơ đồ hình cây:

a) Cả hai bạn đều về thăm nhà.

P(A Ç B) = P(AB) = 0,2.0,25 = 0,05.

b) Có ít nhất một bạn về thăm nhà.

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) = 0,2 + 0,25 – 0,05 = 0,4.

c) Cả hai bạn đều không về thăm nhà.

$P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=0,8.0,75=0,6.$

d) Chỉ có bạn An về thăm nhà.

$P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\overline{B}\right)=0,2.0,75=0,15.$

e) Có đúng một bạn về thăm nhà.

$P\left(A\overline{B}\cup \overline{A}B\right)=P\left(A\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}B\right)=0,2.0,75+0,8.0,25=0,35.$

Ví dụ 3. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố AB, $\overline{A}B$ và $\overline{AB}$.

b) Biết P(A) = 0,8 và P(AB) = 0,4. Hãy tính xác suất của các biến cố B, $\overline{A}B$ và $\overline{AB}$.

Hướng dẫn giải:

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là

P(AB) = P(A).P(B) = 0,3.0,7 = 0,21.

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,7$.

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,7.0,7=0,49.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,3.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{AB}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,7.0,3=0,21.$

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên  $P\left(B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,8}=0,5.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2.$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,2.0,5=0,1.$

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,5.$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{AB}$ là

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,2.0,5=0,1.$