Lý thuyết Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn

Để giải quyết các bài toán thực tế bằng cách vận dụng định nghĩa đạo hàm ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán thực tế, phân tích, xác định giả thuyết, các tham số, biến số, thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố.

Bước 2: Sử dụng công cụ tính đạo hàm theo định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm để giải quyết bài toán.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 1. Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 3t³ + 8t² + 2. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2, trong đó s tính bằng mét, thời gian t tính bằng giây.

Hướng dẫn giải:

Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:

v(2) = s'(2) = $\underset{\text{t}\to \text{2}}{\lim }\frac{3{\text{t}}^3+8{\text{t}}^2+2-\left(3\cdot 2^3+8\cdot 2^2+2\right)}{\text{t}-2}$

$=\underset{\text{t}\to \text{2}}{\lim }\frac{3{\text{t}}^3+8{\text{t}}^2-56}{\text{t}-2}=\underset{\text{t}\to \text{2}}{\lim }\left(3{\text{t}}^{\text{2}}+14\text{t}+28\right)=68$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là 68 m/s.

Ví dụ 2. Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất 1 000 m theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là v₀ = 245 m/s (bỏ qua sức cản của không khí).

a) Tìm thời điểm t₀ mà tại đó viên đạn đạt độ cao lớn nhất và sẽ bắt đầu rơi. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn), viên đạn rơi xuống đến mặt đất?

Hướng dẫn giải:

a) Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và A là vị trí viên đạt được bắn lên, gốc thời gian (tức lúc t = 0) được tính từ vị trí A như hình vẽ dưới.

Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi đều với vận tốc ban đầu là v₀ = 245 m/s và với gia tốc là g = – 9,8 m/s². (Gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều dương của trục Oy). Phương trình chuyển động của viên đạn là

y = 1 000 + 245t – 4,9t².

Ta tính được v(t) = y' = 245 – 9,8t.

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất và sẽ bắt đầu rơi khi v(t) = 0, tức là 245 – 9,8t = 0.

Từ đó suy ra t = 25 (s).

Khi đó viên đạn cách mặt đất là y(25) = 1 000 + 245 ∙ 25 – 4,9 ∙ 25² = 4 062, 5 (m).

b) Viên đạn rơi đến đất khi y = 0. Vậy nếu gọi t₁ là thời gian kể từ khi viên đạn được bắn lên trời đến khi nó rơi tới đất thì t₁ phải là nghiệm dương của phương trình

0 = 1 000 + 245t – 4,9t², tức là t₁ ≈ 54 (s).