Lý thuyết Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

- Các bước giải bài toán chứng minh phương trình có nghiệm:

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0.

+ Tìm 2 số a và b sao cho f(a).f(b) < 0 và hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình x³ + x² + x – 1 = 0  có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x² + x – 1.

Ta thấy f(x) liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên [0;1].

Ta có f(0) = –1; f(1) = 2 nên f(0) . f(1) < 0.

Vậy phương trình có nghiệm (trong khoảng (0; 1)).