Lý thuyết Bài toán lãi suất – dân số

*Phương pháp: Để giải các bài toán thực tiễn về lãi suất và dân số có vận dụng tính chất lũy thừa với số mũ thực, chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố quan trọng của bài toán.

Bước 2: Xác lập các quy luật, công thức mà chúng ta phải tuân theo.

Bước 3: Áp dụng tính chất lũy thừa với số mũ thực để giải quyết bài toán.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

Ø Bài toán lãi suất ngân hàng theo thể thức “lãi kép theo định kì”: Nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp.

Công thức: A = P (1 + r) ^N.

Trong đó: P là số tiền gốc ban đầu;

               r là lãi suất mỗi kì hạn (có thể là tháng, quý hay năm);

               N là số kì hạn;

               A là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi.

Như vậy, công thức tính số tiền lãi thu được là A – P = P (1 + r) ^N – P.

Ø Bài toán dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số: X = X₀ (1 + r )^N.

Trong đó, X₀ là dân số năm ban đầu;

               r là tỉ lệ tăng dân số mỗi năm;

               N là số năm;

               X là số dân năm cần tìm.

* Chú ý: Trong tính toán các bài toán về lãi suất và dân số, ta nhớ là r được biểu thị dưới dạng số thập phân hay r% là $\frac{r}{100}.$

Ví dụ 1. Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất 5% một năm.

a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.

b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép $\frac{5}{12}\%$  một tháng thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ra ta có: Số tiền gốc ban đầu P = 10 triệu đồng;

                              Lãi suất mỗi năm r = 5% = 0,05;

                              Số kì hạn N = 10 năm.

Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau 10 năm với lãi kép 5% một năm là

A = 10.(1 + 5%)¹⁰ = 10.( 1 + 0,05)¹⁰ ≈ 16,288 946 27 (triệu đồng).

b) Theo bài ra ta có: Số tiền gốc ban đầu P = 10 triệu đồng;

                              Lãi suất mỗi tháng $r=\frac{5}{12}\%=\frac{1}{240};$

                              Số kì hạn N = 10.12 = 120 tháng.

Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau 10 năm với lãi kép $\frac{5}{12}\%$  một tháng là

$A=10.{\left(1+\frac{5}{12}\%\right)}^{120}=10.{\left(1+\frac{1}{240}\right)}^{120}\approx 16,47009498$ (triệu đồng)

Ta thấy: 16,470 094 98 > 16,288 946 27

Vậy số tiền nhận được với lãi suất $\frac{5}{12}\%$  mỗi tháng nhiều hơn.

Ví dụ 2. Dân số của Việt Nam ngày 23 tháng 11 năm 2023 là 99 983 868 người. Nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 0,97% thì vào ngày 23 tháng 11 năm 2030, dân số của Việt Nam là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: Số dân ngày 23 tháng 11 năm 2023 X₀ = 99 983 868 người;

                          Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm r = 0,97% = 0,009 7.

                          Số năm N = 2030 – 2023 = 7 năm.

Với tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hàng năm được duy trì ở mức 0,97% thì dân số của Việt Nam vào ngày 23 tháng 11 năm 2030 là

X = 99 983 868.(1 + 0,009 7)⁷ ≈ 106 973 555 (người).